Теорема Мэйсона — Стотерса

Теорема Мэйсона–Стотерса – это теорема о многочленах, аналог abc-гипотезы для целых чисел. Названа в честь Стотерса, который опубликовал её в 1981, и Мейсона, который вновь открыл его вскоре после этого.

Формулировка

Пусть $a(t),b(t),c(t)$ – попарно взаимно простые многочлены над полем, такие что $a+b=c$ и хотя бы один из них имеет ненулевую производную. Тогда

$\max\{\deg(a),\deg(b),\deg(c)\}\leqslant \deg(\operatorname {rad} (abc))-1.$

Здесь $\operatorname {rad} f$ – радикал многочлена, это произведение различных неприводимых неприводимых множителей $f$. Для алгебраически замкнутых полей радикал многочлена $f$ – это многочлен минимальной степени с тем же множеством корней, что и у $f$; в этом случае $\deg \operatorname {rad} f$ – это просто число различных корней $f$.

Примеры

• Над полями характеристики 0 условие, что хотя бы одна производная $a',b',c'$ ненулевая равносильно тому, что хотя бы один многочлен – не константа. Над полями характеристики $p>0$ недостаточно требовать, чтобы все $a,b,c$ были неконстантными. Например, тождество $1+t^{p}=(1+t)^{p}$ дает пример, где $\max\{\deg(a),\deg(b),\deg(c)\}=p$, а $\deg(\operatorname {rad} (abc))=2$.
• Если взять $a(t)=t^{n},c(t)=(t+1)^{n}$, то мы получим пример, в котором в теореме Мейсона–Стотерса достигается равенство, что показывает, что оценка в теореме в некотором смысле неулучшаема.
• Простым следствием теоремы Мейсона-Стотерса является аналог великой теоремы Ферма для полей функций: если $a(t)^{n}+b(t)^{n}=c(t)^{n}$ для попарно взаимно простых $a,b,c$ над полем характеристики, не делящей $n$ и $n>2$, то хотя бы один из $a,b,c$ нулевой или все константы.

Доказательство

Из условия $a+b=c$ следует, что $b'a-ba'=c'a-a'c$ и $a'b-ab'=c'b-cb'$. Обозначим $W=a'b-ab'$. Отсюда следует, что ${\text{НОД}}(a,a'),{\text{НОД}}(b,b'),{\text{НОД}}(c,c')$ делит $W$. Поскольку все НОДы попарно взаимно просты, то их произведение делит $W$.

Ясно также, что $W\neq 0$. От противного: если $W=0$, то $a'b=ab'$, значит $a$ делит $a'$, поэтому $a'=0$ (поскольку $\deg a>\deg a'$ при любом неконстантном $a$). Аналогично получаем, что $b'=0,c'=0$, что противоречит условию.

Из обеих утверждений получаем, что

$\deg {\text{НОД}}(a,a')+\deg {\text{НОД}}(b,b')+\deg {\text{НОД}}(c,c')\leqslant \deg W$

По определению $W$ имеем $\deg W\leqslant \deg a+\deg b-1$ , значит

$\deg {\text{НОД}}(a,a')+\deg {\text{НОД}}(b,b')+\deg {\text{НОД}}(c,c')\leqslant \deg a+\deg b-1$

Для любого многочлена $P$ верно, что $\deg P-\deg \operatorname {rad} (P)\leqslant \deg {\text{НОД}}(P,P')$. Подставляя сюда $P=a,b,c$ и подставляя в неравенство выше, получаем

$\deg abc-(\operatorname {rad} (a)+\operatorname {rad} (b)+\operatorname {rad} (c))\leqslant \deg a+\deg b-1$

мы получаем, что

$\deg c\leqslant \deg \operatorname {rad} (abc)-1$

что и требовалось.

Снайдер дал элементарное доказательство теоремы Мейсона-Стотерса.

Обобщения

Существует естественное обобщение, в котором кольцо многочленов заменены на одномерные поля функций.

Пусть $k$ - алгебраически замкнутое поле характеристики 0, пусть $C/k$ – гладкая проективная кривая рода $g$, и пусть $a,b\in k(C)$ – рациональные функции на $C$, такие что $a+b=1$, и пусть $S$ - множество точек в $C(k)$, содержащее все нули и полюсы $a,b$. Тогда

$\max\{\deg(a),\deg(b)\}\leqslant \max\{|S|+2g-2,0\}.$

Здесь степень функции в $k(C)$ – это степень отображения, индуцированного из $C$ в $P^{1}$.

Это было доказано Мэйсоном, альтернативное более короткое доказательство в том же году было опубликовано Сильверманом.

Существует дальнейшее обобщение, данное Voloch и независимо Brownawell и Массером, которое дает верхнюю оценку для уравнений $a_{1}+...+a_{n}=1$, для которых верно, что нет подмножеств $a_{i}$, которые являются $k$-линейно независимыми. При этих предположениях они доказали, что

$\max\{\deg(a_{1}),\ldots ,\deg(a_{n})\}\leqslant {\frac {1}{2}}n(n-1)\max\{|S|+2g-2,0\}.$

Внешние ссылки

• Weisstein, Eric W. Mason's Theorem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Mason-Stothers Theorem and the ABC Conjecture