Полигамма-функция: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
АРГО-67 (обсуждение | вклад) →Преамбула: викификация, орфография |
Adavyd (обсуждение | вклад) оформление |
||
Строка 12:
: <math>\psi(z) = \psi^{(0)}(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}</math>
— [[дигамма-функция]]<ref name="PGF">{{mathworld|urlname=PolygammaFunction|title=Polygamma Function|author=Eric W. Weisstein}}</ref>, которую также можно определить через сумму следующего ряда:
: <math> \psi(z) = \psi^{(0)}(z) = -\gamma
+ \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+z}\right)\;,</math>
где <math>{\textstyle{\gamma}}</math> — [[Постоянная Эйлера — Маскерони|постоянная Эйлера—Маскерони]]. Это представление справедливо для любого комплексного <math>z\neq 0, \; -1, \; -2, \; -3, \ldots</math> (в указанных точках функция <math>{\textstyle{\psi(z)}}</math> имеет сингулярности первого порядка)<ref name="DGF">{{mathworld|urlname=DigammaFunction|title=Digamma Function|author=Eric W. Weisstein}}</ref>.
Полигамма-функцию также можно определить через сумму ряда
Строка 24:
\displaystyle{\frac{1}{(z+k)^{m+1}}}\;, \qquad m>0 \;,</math>
который получается из представления для дигамма-функции дифференцированием по ''z''<ref name="PGF" />. Это представление также справедливо для любого комплексного <math>z\neq 0, \; -1, \; -2, \; -3, \ldots</math> (в указанных точках функция <math>{\textstyle{\psi^{(m)}(z)}}</math> имеет сингулярности порядка (''m''+1)). Оно может быть записано через [[дзета-функция Гурвица|дзета-функцию Гурвица]]<ref name="PGF" />,
: <math>\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \zeta (m+1,z) \; .</math>
Строка 76:
:<math>\psi(\tfrac12)=\psi^{(0)}(\tfrac12)=-\gamma-2\ln{2}\; ,</math>
где <math>{\textstyle{\gamma}}</math> — [[Постоянная Эйлера — Маскерони|постоянная Эйлера—Маскерони]]<ref name="PGF" />.
Чтобы получить значения полигамма-функции при других целых (положительных) и полуцелых значениях аргумента, можно использовать рекуррентное соотношение, приведённое ниже.
== Другие формулы ==
Полигамма-функция удовлетворяет [[рекуррентная формула|рекуррентному соотношению]]<ref name="PGF" />
:<math>\psi^{(m)}(z+1)= \psi^{(m)}(z) + \frac{(-1)^m\; m!}{z^{m+1}} \;,</math>
а также формуле дополнения<ref name="PGF" />
:<math>\psi^{(m)}(1-z)+(-1)^{m+1}\;\psi^{(m)}(z) = (-1)^m \pi \frac{{\rm d}^m}{{\rm d}z^m}\cot(\pi z)\; . </math>
Для полигамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство<ref name="PGF" />:
:<math>\psi^{(m)}(kz) = \frac{1}{k^{m+1}} \sum_{n=0}^{k-1}
\psi^{(m)}\left(z+\frac{n}{k}\right), \qquad m>0</math>
а для [[дигамма-функция|дигамма-функции]] (<math>m = 0</math>) к правой части надо добавить ln''k''<ref name="PGF" />,
:<math>\psi(kz) = \ln{k} + \frac{1}{k}\sum_{n=0}^{k-1}
Строка 102:
* [[Дигамма-функция]]
* [[Тригамма-функция]]
== Примечания ==
{{примечания}}
== Ссылки ==
| |||