Википедия

Математическая структура: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
м поставил ударение
подготовка к якорям
Строка 1:
{{Другие значения|Структура (значения)}}
'''Математи́ческая структу́ра'''  — название, объединяющее понятия, общей чертой которых является их применимость к [[множество|множествам]], природа которых не определена. Для определения самой структуры задают [[Отношение (теория множеств)|отношения]], в которых находятся элементы этих множеств. Затем постулируют, что данные отношения удовлетворяют неким условиям, которые являются аксиомами рассматриваемой структуры<ref>{{книга |часть=Структура |заглавие=Математическая энциклопедия (в 5 томах) |место=М. |том=5 |год=1985 |ссылка=http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t5.djvu |издательство=[[Большая Российская энциклопедия (издательство)|Советская Энциклопедия]] }}</ref>.
 
''Построить аксиоматическую теорию данной структуры''  — это значит вывести логические следствия из аксиом структуры, отказавшись от каких-либо других предположений относительно самих рассматриваемых элементов, и, в частности, от всяких гипотез относительно их «природы».
 
== Основные типы структур ==
 
Отношения, являющиеся исходной точкой в определении структуры, могут быть весьма разнообразными.
 
{{Якорь|Алгебраическая структура}}Важнейшим типом структур являются [[Алгебраическая система|'''''алгебраические структуры'']]'''. Например, отношение, называемое «законом композиции», то есть отношение между тремя элементами, которое определяет однозначно третий элемент как функцию двух первых. Когда отношения в определении структуры являются «законами композиции», соответствующая математическая структура называется алгебраической структурой. Например, структуры [[Лупа (алгебра)|лупы]], [[Группа (математика)|группы]], [[Поле (алгебра)|поля]] определяется двумя законами композиции с надлежащим образом выбранными аксиомами. Так сложение и умножение на множестве [[Вещественное число|вещественных чисел]] определяют поле на множестве этих чисел.
 
{{Якорь|Структура порядка}}Второй важный тип представляют структуры, определённые [[Отношение порядка|отношением порядка]], то есть [[Отношение порядка|'''''структуры порядка'']]'''. Это отношение между двумя элементами <math>x,\;y</math>, которое чаще всего мы выражаем словами «<math>x</math> меньше или равно <math>y</math>» и которое в общем случае обозначается как <math>xRy</math>. В этом случае не предполагается, что это отношение однозначно определяет один из элементов <math>x,\;y</math> как функцию другого. В [[Теория множеств|теории множеств]] часто вместо термина «''структура порядка''» используется термин «''[[Решётка (теория множеств)|решётка]]''».
 
{{Якорь|Топологическая структура}}Третьим типом структур являются [[Топологическая структура|'''''топологические структуры'']]''', (или топологии). Вв них находятчерез абстрактную математическую формулировку средствами [[Общая топология|общей топологии]] реализуются интуитивные понятия [[Окрестность|окрестности]], [[Предел функции|предела]] и [[Непрерывное отображение|непрерывности]].
 
== Иерархия структур математики ==
Группа математиков, объединённая под именем [[Николя Бурбаки]], представили математику как иерархию структур, идущих от простого к сложному, от общего к частному. Иерархия по Бурбаки, описанная в статье «Архитектура математики» (1948), представляется трехуровневой:трёхуровневой.
# ''Основные (порождающие) математические структуры''. В центре находятся основные типы структур. Главнейшими, так сказать, порождающими структурами ({{lang-fr|les structures-meres}}) из них являются
#* [[Алгебраическая система|Алгебраические структуры]];
#* [[Топологическая структура|Топологические структуры]];
#* [[Отношение порядка|Структуры порядка]].
#: В каждом из этих типов структур присутствует достаточное разнообразие. При этом следует различать наиболее общую структуру рассматриваемого типа с наименьшим числом аксиом и структуры, которые получаются из неё в результате её обогащения дополнительными аксиомами, каждая из которых влечёт за собой и новые следствия.▼
# ''Сложные математические структуры''. В сложные ({{lang-fr|multiples}}) структуры входят одновременно одна или несколько порождающих структур, но не просто совмещённые друг с другом, а органически скомбинированные при помощи связывающих их аксиом. Например, [[топологическая алгебра]] изучает структуры, определяемые законами композиций и топологической структурой, которые связаны тем условием, что алгебраические операции являются непрерывными (в рассматриваемой топологии) функциями элементов. Другим примером является [[алгебраическая топология]], которая рассматривает некоторые множества точек пространства, определённые топологическими свойствами, как элементы, над которыми производятся алгебраические операции.▼
# ''Частные математические структуры''. В частных структурах элементы рассматриваемых множеств, которые до этого в общих структурах были совершенно неопределёнными, получают более определённую индивидуальность. Именно таким образом получают такие теории классической математики, как [[математический анализ]] функций вещественной и комплексной переменной, [[Дифференциальная геометрия|дифференциальную геометрию]], [[Алгебраическая геометрия|алгебраическую геометрию]].▼
 
На первом уровне вводятся основные (порождающие) математические структуры, среди них в качестве главнейших, порождающих ({{lang-fr|les structures-meres}}) выделены:
== Литература ==▼
* алгебраические структуры;
* ''Бурбаки Н.'' [http://bookluck.ru/savered.php?file=100896 «Архитектура математики» в книге Н. Бурбаки «Очерки по истории математики» М.: ИИЛ, 1963. стр. 245—259.] или в сб. «Математическое просвещение» Вып. 5, 1960. стр. 99—112.;▼
* топологические структуры;
* Первоисточник: N. Bourbaki «L’Architecture des mathematiques». Les grands courants de la pensee mathematiques (Cahiers du Sud), 1948. — p. 35—47.▼
* структуры порядка.
* [http://www.math.ucdavis.edu/~mduchin/111/readings/architecture.pdf Nicholas Bourbaki. «The Architecture of Mathematics». The American Mathematical Monthly. Vol. 57. No. 4. (1950). p. 221—232.] {{ref-en}}▼
▲#: В каждом из этих типов структур присутствует достаточное разнообразие. При этом следует различать наиболее общую структуру рассматриваемого типа с наименьшим числом аксиом и структуры, которые получаются из неё в результате её обогащения дополнительными аксиомами, каждая из которых влечёт за собой и новые следствия.
* [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Burbaki1965ru.djvu ''Бурбаки Н.'' Теория множеств. М.: Мир, 1965. 456с.]▼
 
▲#На ''Сложныевторой математическиеуровень структуры''. Впоставлены сложные математические структуры ({{lang-fr|multiples}}) — структуры, в которые входят одновременно одна или несколько порождающих структур, но не просто совмещённые друг с другом, а органически скомбинированные при помощи связывающих их аксиом. Например, [[топологическая алгебра]] изучает структуры, определяемые законами композиций и топологической структурой, которые связаны тем условием, что алгебраические операции являются непрерывными (в рассматриваемой топологии) функциями элементов. Другим примером является [[алгебраическая топология]], которая рассматривает некоторые множества точек пространства, определённые топологическими свойствами, как элементы, над которыми производятся алгебраические операции.
== См. также ==
 
* [[Структура (дифференциальная геометрия)]]
▲#На ''Частныетретьем уровне — частные математические структуры''., Вв частных структурахкоторых элементы рассматриваемых множеств, которые до этогобывшие в общих структурах были совершенно неопределёнными, получают более определённую индивидуальность. Именно таким образом получают такие теории классической математики, как [[математический анализ]] функций вещественной и комплексной переменной, [[Дифференциальная геометрия|дифференциальную геометрию]], [[Алгебраическая геометрия|алгебраическую геометрию]].
* [[Алгебраическая система|Алгебраическая структура]]
* [[Топологическая структура]]
* [[Частично упорядоченное множество]]
 
== Примечания ==
{{примечания}}
 
▲== Литература ==
▲* ''Бурбаки Н.'' [http://bookluck.ru/savered.php?file=100896 «Архитектура математики» в книге Н. Бурбаки «Очерки по истории математики» М.: ИИЛ, 1963. стр. 245—259.] или в сб. «Математическое просвещение» Вып. 5, 1960. стр. 99—112.;
▲* Первоисточник: N. Bourbaki «L’Architecture des mathematiques». Les grands courants de la pensee mathematiques (Cahiers du Sud), 1948.  — p. 35—47.
▲* [http://www.math.ucdavis.edu/~mduchin/111/readings/architecture.pdf Nicholas Bourbaki. «The Architecture of Mathematics». The American Mathematical Monthly. Vol. 57. No. 4. (1950). p. 221—232.] {{ref-en}}
▲* [http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Burbaki1965ru.djvu ''Бурбаки Н.'' Теория множеств. М.: Мир, 1965. 456с.]
 
[[Категория:Теория множеств]]
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Математическая_структура