Секционная кривизна: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Tosha (обсуждение | вклад) Удалено перенаправление на Кривизна римановых многообразий#Секционная кривизна Метка: удалено перенаправление |
|||
Строка 1:
==Определение==
Секционная кривизна — это функция <math>K(\sigma)</math>, которая зависит от ''секционного направления'' <math>\sigma</math> в точке <math>p</math> (то есть двумерной плоскости в касательном пространстве в <math>p</math>). Она равна [[Кривизна|гауссовой кривизне]] ''поверхности, образованной экспоненциальным отображением,'' измеренной в точке <math>p</math>.
==Свойства==
*Если <math>v,\;u</math> — два линейно независимых вектора в <math>\sigma</math>, то
: <math>K(\sigma)= K(u,\;v)/|u\wedge v|^2,</math> где <math>K(u,\;v)=\langle R(u,\;v)v,\;u \rangle.</math>
*Следующая формула показывает, что секционная кривизна описывает тензор кривизны полностью:
*: <math>6\langle R(u,\;v)w,\;z \rangle =</math>
*: <math>[K(u+z,\;v+w)-K(u+z,\;v)-K(u+z,\;w)-K(u,\;v+w)-K(z,\;v+w)+K(u,\;w)+K(v,\;z)]\,-</math>
*: <math>[K(u+w,\;v+z)-K(u+w,\;v)-K(u+w,\;z)-K(u,\;v+z)-K(w,\;v+z)+K(v,\;w)+K(u,\;z)].</math>
** более простой форме, используя [[частная производная|частные производные]]:
**: <math>\langle R(u,\;v)w,\;z\rangle=\frac 16\cdot \left.\frac{\partial^2}{\partial s\partial t}\left(K(u+sz,\;v+tw)-K(u+sw,\;v+tz)\right)\right|_{(s,\;t)=(0,\;0)}.</math>
[[Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия]]
| |||