Теорема Римана об условно сходящихся рядах: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
DieHErtz (обсуждение | вклад) |
DieHErtz (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
Строка 3:
'''Теорема Римана об''' [[Условная сходимость|'''условно сходящихся рядах''']] помогает при вычислении суммы бесконечного ряда.
== Формулировка ==
''Пусть ряд <math>\mathbf{A}</math> сходится условно, тогда для любого числа '''S'''<math>\in\mathbf{R}</math> можно так поменять порядок суммирования, что сумма нового ряда будет равна '''S'''.
''
== Доказательство ==
''Составим ряд из положительных элементов ряда <math>\mathbf{A}</math> и обозначим его <math>\mathbf{P}</math>, а элементы ряда <math>\mathbf{P}</math> обозначим <math>\mathbf{P_i} (i=1,...,\infty)</math>. Соответственно ряд из отрицательных элементов <math>\mathbf{A}</math> обозначим <math>\mathbf{Q}</math> Следовательно ряд <math>\mathbf{A}</math> можно представить как:
<math>\mathbf{A}=\mathbf{P}-\mathbf{Q}</math>.
Исходя из [[Условная сходимость|свойств условно сходящихся рядов]] <math>\mathbf{P}</math> и <math>\mathbf{Q}</math> - расходятся, а исходя из [[Остаток ряда|свойств остатка ряда]] все остатки <math>\mathbf{P}</math> и <math>\mathbf{Q}</math> - расходятся <math>\Rightarrow</math> в каждом из этих рядов начиная с любого места можно набрать столько членов, чтобы их сумма превзошла любое число.
Строка 16:
Этот процесс мысленно продолжаем до бесконечности. Таким образом все члены ряда <math>\mathbf{A}</math> встретятся в новом ряду. Если всякий раз, выписывая члены <math>\mathbf{p}</math> и <math>\mathbf{q}</math>, набирать их не больше, чем требуется для неравенства, то разница между частичной суммой нового ряда и '''S''' по модулю не превзойдет последнего написаного члена. Поскольку из свойств условно сходящихся рядов:
<math>\lim_{k\to\infty} \mathbf{p_k}=0</math> и <math>\lim_{m\to\infty} \mathbf{q_m}=0</math>, то новый ряд сходится к '''S'''. Что и требовалось доказать.
{{math-stub}}''
[[Категория:Математический анализ]]
[[Категория:Теоремы]]
| |||