Список интегралов от тригонометрических функций: различия между версиями

м
Нет описания правки
м
{{Списки интегралов}}
{{Тригонометрия}}{{ref-en}}
Ниже приведён список [[интеграл]]ов ([[первообразная|первообразных]] функций) от [[тригонометрические функции|тригонометрических функций]]. В списке везде опущена [[Аддитивная величина|аддитивная]] константа интегрирования.
 
 
== Интегралы, содержащие только [[секанс]] ==
: <math>\int \sec{cx} \, dx = \frac{1}{c}\ln{\left| \sec{cx} + \operatorname{tg}{cx}\right|}</math>
 
: <math>\int \sec^n{cx} \, dx = \frac{\sec^{n-1}{cx} \sin {cx}}{c(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2}{cx} \, dx \qquad \mbox{ ( }n \ne 1\mbox{)}</math>
 
: <math>\int \frac{dx}{\sec{x} + 1} = x - \operatorname{tg}{\frac{x}{2}}</math>
 
== Интегралы, содержащие только [[косеканс]] ==
: <math>\int \csc{cx} \, dx = -\frac{1}{c}\ln{\left| \csc{cx} + \operatorname{ctg}{cx}\right|}</math>
 
: <math>\int \csc^n{cx} \, dx = -\frac{\csc^{n-1}{cx} \cos{cx}}{c(n-1)} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \csc^{n-2}{cx} \, dx \qquad \mbox{ ( }n \ne 1\mbox{)}</math>
 
== Интегралы, содержащие только [[котангенс]] ==
: <math>\int\sin^n cx\cos^m cx\;dx = -\frac{\sin^{n-1} cx\cos^{m+1} cx}{c(n+m)}+\frac{n-1}{n+m}\int\sin^{n-2} cx\cos^m cx\;dx \qquad\mbox{( }m,n>0\mbox{)}</math>
 
: <math>\int\sin^n cx\cos^m cx\;dx = \frac{\sin^{n+1} cx\cos^{m-1} cx}{c(n+m)} + \frac{m-1}{n+m}\int\sin^n cx\cos^{m-2} cx\;dx \qquad\mbox{( }m,n>0\mbox{)}</math>
 
: <math>\int\frac{dx}{\sin cx\cos cx} = \frac{1}{c}\ln\left|\operatorname{tg} cx\right|</math>
: <math>\int\frac{\sin^n cx\;dx}{\cos^m cx} = \frac{\sin^{n+1} cx}{c(m-1)\cos^{m-1} cx}-\frac{n-m+2}{m-1}\int\frac{\sin^n cx\;dx}{\cos^{m-2} cx} \qquad\mbox{( }m\neq 1\mbox{)}</math>
 
: <math>\int\frac{\sin^n cx\;dx}{\cos^m cx} = -\frac{\sin^{n-1} cx}{c(n-m)\cos^{m-1} cx}+\frac{n-1}{n-m}\int\frac{\sin^{n-2} cx\;dx}{\cos^m cx} \qquad\mbox{( }m\neq n\mbox{)}</math>
 
: <math>\int\frac{\sin^n cx\;dx}{\cos^m cx} = \frac{\sin^{n-1} cx}{c(m-1)\cos^{m-1} cx}-\frac{n-1}{m-1}\int\frac{\sin^{n-1} cx\;dx}{\cos^{m-2} cx} \qquad\mbox{( }m\neq 1\mbox{)}</math>
 
: <math>\int\frac{\cos cx\;dx}{\sin^n cx} = -\frac{1}{c(n-1)\sin^{n-1} cx} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}</math>
: <math>\int\frac{\cos^n cx\;dx}{\sin^m cx} = -\frac{\cos^{n+1} cx}{c(m-1)\sin^{m-1} cx} - \frac{n-m-2}{m-1}\int\frac{cos^n cx\;dx}{\sin^{m-2} cx} \qquad\mbox{( }m\neq 1\mbox{)}</math>
 
: <math>\int\frac{\cos^n cx\;dx}{\sin^m cx} = \frac{\cos^{n-1} cx}{c(n-m)\sin^{m-1} cx} + \frac{n-1}{n-m}\int\frac{cos^{n-2} cx\;dx}{\sin^m cx} \qquad\mbox{( }m\neq n\mbox{)}</math>
 
: <math>\int\frac{\cos^n cx\;dx}{\sin^m cx} = -\frac{\cos^{n-1} cx}{c(m-1)\sin^{m-1} cx} - \frac{n-1}{m-1}\int\frac{cos^{n-2} cx\;dx}{\sin^{m-2} cx} \qquad\mbox{( }m\neq 1\mbox{)}</math>
 
== Интегралы, содержащие только синус и тангенс ==