Комплексная функция: различия между версиями

1612 байт добавлено ,  11 лет назад
дополнение
м (робот добавил: uk:Комплексна функція)
(дополнение)
Термин '''комплексная функция''' может относится к двум видам функций:
'''Компле́ксная фу́нкция''' — функция которую можно представить в виде
 
= Комплекснозначная функция =
: <math>\! f(x)=u(x)+i \cdot v(x)</math>,
Комплекснозначная функция — [[Функция (математика)|функция]] [[Действительное число|действительного]] переменного, имеющая [[Комплексное число|комплексные]] значения:
: <math>f: \mathbb{R}\to\mathbb{C}</math>.
 
Такая функция может быть представлена в виде
где ''i'' — это [[Комплексное число|мнимая единица]], т.&nbsp;е. <math>\! i^2 = -1 </math>, а <math>\! u(x)</math> и <math>\! v(x)</math> — [[Функция|действительные функции]]. Функция <math>\! u(x)</math> называется ''действительной частью'' функции <math>\! f(x)</math>, а <math>\! v(x)</math> — её ''мнимой частью''.
: <math>\! f(x)=u(x)+i \cdot v(x)</math>,
 
где ''i''  — это [[Комплексное число|мнимая единица]], т.&nbsp;е. <math>\! i^2 = -1 </math>, а <math>\! u(x)</math> и <math>\! v(x)</math>   действительные [[Функция|действительные (математика)|функции]]. Функция <math>\! u(x)</math> называется ''действительной частью'' функции <math>\! f(x)</math>, а <math>\! v(x)</math>  — её ''мнимой частью''.
== Свойства ==
Функция
 
== Свойства ==
* Функция
: <math>\! f^* (x) = u(x) - i \cdot v(x) </math>
называется ''[[Комплексное сопряжение|комплексно сопряжённой]]'' функции <math>\! f(x)</math>.
 
* Произведение функции на её комплексно сопряжённую называетсяявляется ''квадратом [[Модуль|модуля]] функции''. Квадрат модуля функции всегда положителен и обозначается символом
называется ''комплексно сопряжённой'' функции <math>\! f(x)</math>.
: <math>\! | f(x) | ^2 = f(x) \cdot f^*(x) = u(x)^2 + v(x)^2</math>
 
= Функция комплексного переменного =
Произведение функции на её комплексно сопряжённую называется ''квадратом модуля функции''. Квадрат модуля функции всегда положителен и обозначается символом
Это понятие — обобщение предыдущего варианта:
: <math>f: \mathbb{C}\to\mathbb{C}</math>.
Такими функциями занимается отдельная область [[Математический анализ|математического анализа]] — [[теория функции комплексного переменного]] или [[комплексный анализ]].
 
Функция также может быть представлена в виде
: <math>\! f(z)=u(z)+i v(z)</math>,
однако имеется более глубокая связь между u и v. Например, для того, чтобы функция <math>f(z)</math> была дифференцируема, должны выполняться [[условия Коши — Римана]]:
: <math>\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}</math>;
 
: <math>\frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x}</math>.
 
: <math>\! | f(x) | ^2 = f(x) \cdot f^*(x) = u(x)^2 + v(x)^2</math>
 
== См. также ==
* [[Комплексное число]]
 
 
[[Категория:функцииФункции]]
 
[[uk:Комплексна функція]]