Непрерывное отображение: различия между версиями

м
Нет описания правки
(→‎Непрерывные функции (функционалы): викификация, орфография, пунктуация)
м
'''Непреры́вное отображе́ние''' (''непрерывная функция'') — [[отображение]] из одного пространства в другое, при котором близкие точки области определения переходят в близкие точки области значений.
 
Наиболее общее определение формулируется для отображений [[топологическое пространство|топологических пространств]]: непрерывным считается отображение, при котором прообраз всякого [[Открытое множество|открытого множества]] открыт. Непрерывность отображений других типов пространств — [[Метрическое пространство|метрических]], [[Нормированное пространство|нормированных]] и т. п. пространств — является непосредственным следствием общего (топологического) определения, но формулируется с использованием структур, заданных в соответствующих пространствах — [[Метрика (математика)|метрики]], [[Норма (математика)|нормы]] и т. д.
Непрерывность отображений других типов пространств — [[Метрическое пространство|метрических]], [[Нормированное пространство|нормированных]] и тому подобных пространств — является непосредственным следствием общего (топологического) определения, но формулируется с использованием структур, заданных в соответствующих пространствах — [[Метрика (математика)|метрики]], [[Норма (математика)|нормы]] и так далее.
 
В [[математический анализ|математическом анализе]] и [[Комплексный анализ|комплексном анализе]], где рассматриваются [[Числовая функция|числовые функции]] и их обобщения на случай многомерных пространств, [[Непрерывная функция|непрерывность функции]] вводится на языке [[Предел (математика)|пределов]]: такие определения непрерывности были исторически первыми и послужили основой для формирования общего понятия.
Отображение непрерывно на некотором множестве тогда и только тогда, когда оно непрерывно в каждой точке данного множества.<ref name="point">В математическом анализе понятие непрерывности сначала формулируется ''локально'', в некоторой точке, а непрерывность на множестве определяется как непрерывность в каждой точке данного множества.</ref>
 
В случае, если [[область определения функции]] удовлетворяет [[первая аксиома счетности|первой аксиоме счетности]], в частности для метрических пространств, непрерывность в точке эквивалентна т.н.так называемой секвенциальной непрерывности: если <math>\lim_{n \to \infty} x_n=x </math>, то <math>\lim_{n \to \infty} f(x_n)=f(x)</math>. В общем же случае, секвенциально непрерывные прообразы [[секвенциальное замыкание|секвенциально замкнутых множеств]] секвенциально замкнуты, что является аналогом эквивалетного определения непрерывных отображений как тех, при которых прообразы замкнутых множеств замкнуты.
 
==== Эквивалентные определения ====