Ряд Тейлора: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Метки: с мобильного устройства из мобильной версии |
|||
Строка 266:
== Ряды Маклорена некоторых функций ==
* [[Экспонента]]: <math>\displaystyle\mathrm{e}^{x} = 1 + \dfrac{x}{1!} + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots = \sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{x^n}{n!}, x\in\mathbb{C}</math>
* Натуральный [[логарифм]] ("[[ряд Меркатора]]"): <math>\displaystyle\ln(1+x) = x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots = \sum\limits^{\infin}_{n=0} \dfrac{(-1)^n x^{n+1}}{(n+1)} = \sum\limits^{\infin}_{n=1} \dfrac{(- 1)^{n-1}x^n}{n},</math> для всех <math> -1< x \le 1</math>
* [[Бином Ньютона|Биномиальное разложение]]: <math>\displaystyle(1+x)^\alpha = 1+\sum\limits^{\infin}_{n=1} \binom \alpha n x^n,</math> для всех <math> \left| x \right| < 1</math> и всех комплексных <math>\alpha,</math> где <math>\displaystyle\binom \alpha n = \prod\limits_{k=1}^n \dfrac{\alpha-k+1}k = \dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}</math>
** [[Квадратный корень]]: <math>\displaystyle\sqrt{1+x} = 1 + \dfrac{x}{2} - \dfrac{x^2}{8} + \dfrac{x^3}{16} - \cdots = \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{(-1)^n(2n)!}{(1-2n)n!^24^n}x^n,</math> для всех <math>|x|<1</math>
| |||