Анализ (раздел математики): различия между версиями

К середине XX века получили самостоятельное развитие такие направления как [[теория динамических систем]] и [[эргодическая теория]] ([[Биркгоф, Джордж Дэвид|Джордж Биркгоф]], [[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоров]], фон Нейман), существенно обобщены результаты гармонического анализа за счёт применения общеалгебраических средств — [[Топологическая группа|топологических групп]] и [[Представление группы|представлений]] ([[Вейль, Герман|Вейль]], {{iw|Петер, Фриц (математик)|Петер|en|Fritz Peter}}, [[Понтрягин, Лев Семёнович|Понтрягин]]). Начиная с 1940-х — 1950-х годов методы функционального анализа нашли применение в прикладных сферах, в частности, в работах [[Канторович, Леонид Витальевич|Канторовича]] 1930-х — 1940-х годов инструменты функционального анализа использованы в [[Вычислительная математика|вычислительной математике]] и [[Экономика|экономике]] ([[линейное программирование]]). В 1950-е годы в трудах [[Понтрягин, Лев Семёнович|Понтрягина]] и учеников в развитие методов вариационного исчисления создана [[теория оптимального управления]].

 

 

В начале 1960-х годов [[Робинсон, Абрахам|Робинсоном]] создан [[нестандартный анализ]]{{Переход|#Нестандартный анализ}} — альтернативная формализация как классических, так и смежных областей анализа с использованием инструментария [[Теория моделей|теории моделей]]. Если вначале нестандартный анализ рассматривался лишь как логическая техника обоснования плохо формализованных в классических разделах понятий (прежде всего, [[Бесконечно малые и бесконечно большие величины|бесконечно больших и бесконечно малых величин]]), то с разработкой в конце 1970-х годов {{нп2|Нельсон, Эдвард|Нельсоном|en|Edward Nelson}} {{iw|Теория внутренних множеств|теории внутренних множеств|en|Internal set theory}} и последовавших обобщений, обнаружилось, что конструкции нестандартного анализа применимы практически во всех отраслях математики, как естественно присущие любым математическим объектам{{Sfn|Гордон, Кусраев, Кутателадзе|2011|с=viii|loc=…нестандартный анализ рассматривали как довольно тонкую и даже экзотическую логическую технику, предназначенную для обоснования метода актуальных бесконечно больших и бесконечно малых чисел <…> В конце 70-х годов после опубликования теории внутренних множеств Э. Нельсона (и несколько позже теорий внешних множеств К. Хрбачека и Т. Каваи) взгляды на место и роль нестандартного анализа коренным образом обогатились и видоизменились. В свете новых открытий нестандартные элементы стало возможно рассматривать <…> как неотъемлемые части любых привычных математических объектов. Возникла установка, состоящая в том, что каждое множество образовано стандартными и нестандартными элементами}}. Кроме того, благодаря выразительности языка нестандартного анализа его средствами выявлены результаты, которые не были обнаружены в классическом анализе, но при этом принципиально могли бы быть получены и стандартными, классическими средствами<ref name="dragalin">{{Из|МЭ|статья=Нестандартный анализ|ссылка=http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/3463/|автор=[[Драгалин, Альберт Григорьевич|Драгалин А. Г.]]}} <cite>С помощью Н. а. был обнаружен ряд новых фактов. Многие классич. доказательства заметно выигрывают в наглядности при изложении их методами нестандартного анализа</cite></ref>. Также в 1970-е — 1980-е годы в развитие [[метод форсинга|метода форсинга]] (созданного [[Коэн, Пол Джозеф|Коэном]] для доказательства неразрешимости в [[ZFC]] [[Континуум-гипотеза|континуум-гипотезы]]) в работах [[Соловей, Роберт|Соловея]], [[Скотт, Дана|Скотта]] и {{нп2|Вопенка, Петр|Вопенки|cs|Petr Vopěnka}} разработана теория {{iw|Булевозначная модель|булевозначных моделей|en|Boolean-valued model}}, на основе которой оформилась самостоятельная ветвь нестандартного анализа — булевозначный анализ<ref>{{книга