Двойственное пространство: различия между версиями

→‎Определение: стилевые правки
(→‎Определение: пунктуация)
(→‎Определение: стилевые правки)
Множество всех [[Линейный непрерывный оператор|непрерывных линейных функционалов]], определённых на [[Топологическое векторное пространство|топологическом векторном пространстве]] <math>E</math>, также образует векторное пространство. Это пространство называется ''сопряжённым'' к <math>E</math>, оно обычно обозначается <math>E^*</math>. Множество всех линейных функционалов на <math>E</math>, не обязательно непрерывных, называется ''алгебраически сопряжённым'' к <math>E</math>, оно обычно обозначается <math>E^{\#}</math>.<ref name=autogenerated1>''[[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоров А. Н.]], [[Фомин, Сергей Васильевич|Фомин С. В.]]'' Элементы теории функций и функционального анализа. — Любое издание.</ref>
 
В случае (рассматриваемом обычно в линейной алгебре), когда векторное пространство <math>E</math> конечномерное, все линейные функционалы автоматически являются непрерывными, и сопряжённое пространство <math>E^* = E^{\#}</math> состоит просто из всех линейных функционалов (функций) на <math>E</math>. В случае (рассматриваемом обычно в функциональном анализе), когда <math>E</math> бесконечномерное, вообще говоря, <math>E^* \neq E^{\#} </math>.<ref name=autogenerated1 />.
 
В [[тензорное исчисление|тензорном исчислении]] применяется обозначение <math>x^k</math> для элементов <math>E</math> (верхний, или ''контравариантный'', индекс) и <math>x_k</math> для элементов <math>E^*</math> (нижний, или ''ковариантный'', индекс).
Анонимный участник