Ковариантность и контравариантность (математика): различия между версиями
Ковариантность и контравариантность (математика) (править)
Версия 16:36, 24 октября 2018
, 2 года назад→Контравариантность и ковариантность тензоров: стилевые правки, пунктуация
(→Контравариантность и ковариантность тензоров: стилевые правки) |
(→Контравариантность и ковариантность тензоров: стилевые правки, пунктуация) |
||
|
Для рассматриваемых обычно пространств выполняется так называемый канонический изоморфизм <math>V</math> и <math>V^{**}</math>, то есть эти пространства можно считать неразличимыми. Поэтому 1-раз контравариантный тензор можно считать эквивалентным обычному контравариантному вектору.
Обобщая приведённые определения, можно рассматривать полилинейные функции от векторов и ковекторов одновременно. Соответственно, при смене базиса координатная запись такой функции будет преобразовываться с участием как матрицы преобразования основного базиса (в количестве ковекторов, участвующих в полилинейной функции), так и обратного ему (в количестве векторов полилинейной функции). Соответствующий тензор называют ''m раз контравариантным и k раз ковариантным'' — <math>T^m_k</math>. Для ковариантных компонент используют нижние индексы, для контравариантных — верхние. Например,
Операция суммирования по одинаковым разноуровневым индексам тензоров называется ''свёрткой'' по этим индексам. Как уже было указано выше, по правилу Эйнштейна знак суммирования пропускают. В результате свёртки тензора по паре индексов его ранг уменьшается на 2. Например, отображение некоторого контравариантного вектора с помощью некоторого линейного оператора в тензорной записи будет иметь вид <math>y^i= A^i_j x^j</math>. Линейные операторы являются классическим примером тензора типа <math>T^1_1</math>.
| |||