Ковариантность и контравариантность (математика): различия между версиями

Для рассматриваемых обычно пространств выполняется так называемый канонический изоморфизм <math>V</math> и <math>V^{**}</math>, то есть эти пространства можно считать неразличимыми. Поэтому 1-раз контравариантный тензор можно считать эквивалентным обычному контравариантному вектору.
 
Обобщая приведённые определения, можно рассматривать полилинейные функции от векторов и ковекторов одновременно. Соответственно, при смене базиса координатная запись такой функции будет преобразовываться с участием как матрицы преобразования основного базиса (в количестве ковекторов, участвующих в полилинейной функции), так и обратного ему (в количестве векторов полилинейной функции). Соответствующий тензор называют ''m раз контравариантным и k раз ковариантным'' — <math>T^m_k</math>. Для ковариантных компонент используют нижние индексы, для контравариантных — верхние. Например, тензор 1-раз контравариантный и 1 раз ковариантный тензор обозначается <math>A^i_j</math>. Общее количество индексов <math>k+m</math> называется ''рангом'', или ''валентностью'', тензора. Компонентами тензора являются значения полилинейной функции на базисных векторах. Например, <math>A^i_j = A(e^i, e_j)</math>.
 
Операция суммирования по одинаковым разноуровневым индексам тензоров называется ''свёрткой'' по этим индексам. Как уже было указано выше, по правилу Эйнштейна знак суммирования пропускают. В результате свёртки тензора по паре индексов его ранг уменьшается на 2. Например, отображение некоторого контравариантного вектора с помощью некоторого линейного оператора в тензорной записи будет иметь вид <math>y^i= A^i_j x^j</math>. Линейные операторы являются классическим примером тензора типа <math>T^1_1</math>.
Анонимный участник