Знакочередующийся ряд: различия между версиями

Последовательность <math>S_{2k}</math> монотонно возрастающая, так как <math>S_{2k} = \sum\limits_{i = 2}^{i = n} {\left( {b_{2i - 1} - b_{2i} } \right)},</math> а выражение <math>b_{2i - 1} - b_{2i}</math> неотрицательно при любом целом <math>i.</math> Последовательность <math>S_{2k - 1}</math> монотонно убывает, так как <math>S_{2k + 1} = S_{2k - 1} - \left( {b_{2k} - b_{2k + 1} } \right),</math> а выражение в скобках неотрицательно. Как уже доказано при доказательстве самой теоремы Лейбница, у обеих этих последовательностей — <math>S_{2k}</math> и <math>S_{2k - 1}</math> — совпадающий предел при <math>k \to + \infty.</math> Так получено <math>S_{2k} \leqslant s \leqslant S_{2k - 1}</math> и также <math>s \leqslant S_{2k + 1}.</math> Отсюда <math>0 \leqslant s - S_{2k} \leqslant S_{2k + 1} - S_{2k} = b_{2k + 1}</math> и <math>0 \leqslant S_{2k - 1} - s \leqslant S_{2k - 1} - S_{2k} = b_{2k}.</math> Итак, для любого <math>k</math> выполняется <math>\left| {s - S_k } \right| \leqslant b_{k + 1},</math> что и требовалось доказать.

}}

 

== Литература ==

* {{книга|автор=Иванов Г. Е.|часть=Глава 9. Числовые ряды. §3. Ряды со знакопеременными членами|заглавие=Лекции по математическому анализу|место={{М.}}|издательство=МФТИ|год=2000|том=1|страницы=299—303|страниц=359|isbn=5-7417-0147-7|тираж=800}}

 

{{Последовательности и ряды}}

 

[[Категория:Ряды]]