Группа Вейля: различия между версиями

23 байта убрано ,  1 год назад
стилевые правки, пунктуация
(→‎Свойства: ошибки в словах)
(стилевые правки, пунктуация)
'''Группа Вейля''' — группа, порождённая отражениями в [[Гиперплоскость|гиперплоскостях]], [[Ортогональность|ортогональных]] к корням [[Система корней|корневой системы]] [[Группа Ли|группы Ли]],
[[Алгебра Ли|алгебры Ли]] или других алгебраических объектов.
 
[[Файл:Weyl_chambers.svg|right|thumb|Шесть камер Вейля корневой системы A<sub>2</sub>.]]
 
*Гиперплоскости, ортогональные корням [[Система корней|корневой системы]], режут [[Евклидово пространство|Евклидово пространства]] на конечное число открытых областей, называемых '''камерами Вейля'''.
*Для [[Группа Ли|группы Ли]] <math>G</math>, удовлетворяющей определенным условиям (например, связнаядля компактнаясвязной группакомпактной группы), и произвольного тора <math>T<G</math> (не обязательно максимального) можно определить группу Вейля как фактор [[Центр группы|нормализатора]] тора <math>N(T)</math> по его центраторуцентрализатору <math>Z(T)</math>,
 
*Для [[Группа Ли|группы Ли]] <math>G</math> удовлетворяющей определенным условиям (например связная компактная группа) и произвольного тора <math>T<G</math> (не обязательно максимального) можно определить группу Вейля как фактор [[Центр группы|нормализатора]] тора <math>N(T)</math> по его центратору <math>Z(T)</math>,
*: <math>W(T,G) = N(T)/Z(T).</math>
:Группа <math>W(T,G) </math> конечна, поскольку '<math>Z(T)</math> имеет конечный [[Индекс подгруппы|индекс]] в <math>N(T)</math>.
:*При этом, если <math>T=T_0</math> — [[максимальный тор]] (и значит <math>Z(T_0) = T_0</math>), то полученная фактор-группа <math>W(T_0,G) = N(T_0)/Z(T_0)</math> называется ''группой Вейля'' <math>G</math>, и обозначается <math>W(G)</math>.
::*Хотя эта конструкция зависит от выбора максимального [[Тор (поверхность)|тора]], все полученные таким образом группы изоморфны.
::*Если <math>G</math> - компактная и связная группа Ли, то её группа Вейля изоморфна группе Вейля её алгебры Ли.
 
==Свойства==
 
*Группа Вейля действует перестановками на камерах Вейля, это действие свободное и  [[Действие группы|транзитивное]].
**В частности, число камер Вейля равно порядку группы Вейля.
 
 
== Примеры ==
*Группа Вейля алгебры Ли <math>\mathfrak{sl}_n</math> является [[Симметрическая группа|симметрической группыгруппой]] на ''n'' элементах, <math>S_n</math>. Её действие можно описать следующим образом. Если <math>\mathfrak{h}</math> — подалгебра Картана всех диагональных матриц с нулевым следом, то <math>S_n</math> действует на <math>\mathfrak{h}</math> перестановкой диагональных элементов [[Матрица перестановки|перестановки матриц]]. Это действие индуцирует действие на двойственном пространстве <math>\mathfrak{h}^\ast</math>, которое собственно и является действием группы Вейля.
 
*Для общей линейной группы ''GL'' максимальный тор образован подгруппой ''D'' обратимых диагональных матриц. Нормализатор подгруппы ''D'' является группой обобщенных матриц перестановок (матриц типа [[Матрица перестановки|матриц перестановок]], но с любой ненулевыми числами, вместо единиц). Группа Вейля является [[Симметрическая группа|симметрической группой]]. В этом случае отображение ''N'' → ''N''/''T'' расщепляется, поэтому нормализатор ''N'' является [[Полупрямое произведение|полупрямым произведением]] тора и группы Вейля и значит группа Вейля может быть идентифицирована с подгруппе ''G''.