Группа Ли: различия между версиями

6 байт добавлено ,  2 года назад
м
Бот: замена устаревшего математического синтаксиса в соответствии с mw:Extension:Math/Roadmap
м (Бот: замена устаревшего математического синтаксиса в соответствии с mw:Extension:Math/Roadmap)
== Гомоморфизмы и изоморфизмы ==
 
Пусть <math>G</math> и <math>H</math> — группы Ли над одним и тем же полем. ''Гомоморфизмом'' групп Ли называется отображение <math>f\colon G\to H</math>, являющееся [[гомоморфизм групп|гомоморфизмом групп]] и одновременно аналитическим отображением многообразий (можно показать, что для выполнения последнего условия достаточно непрерывности <math>f</math>). Композиция гомоморфизмов групп Ли снова будет гомоморфизмом групп Ли. Классы всех вещественных и всех комплексных групп Ли вместе с соответствующими гомоморфизмами образуют [[теория категорий|категории]] <math>\operatorname{Lie}_\R</math> и <math>\operatorname{Lie}_\CComplex</math>. Гомоморфизм групп Ли называется ''изоморфизмом'', если существует обратный. Две группы Ли, между которыми существует изоморфизм, как обычно в абстрактной алгебре, называются изоморфными. Как обычно, группы Ли различают лишь с точностью до изоморфизма. Например, группа Ли <math>SO(2)</math> поворотов плоскости с операцией композиции и группа Ли <math>U(1)</math> комплексных чисел, равных по модулю единице, с операцией умножения, являются изоморфными.
 
Пример иррациональной обмотки тора показывает, что образ группы Ли при гомоморфизме не всегда является подгруппой Ли. Однако прообраз подгруппы Ли при гомоморфизме всегда является подгруппой Ли.