Критическая точка (математика): различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
мНет описания правки |
EmausBot (обсуждение | вклад) м Бот: добавление заголовков в сноски; исправление двойных сносок, см. ЧаВо |
||
Строка 2:
'''Критической точкой''' [[дифференцируемая функция|дифференцируемой функции]] <math>f:\R^n\to \R</math> называется точка, в которой её [[Дифференциал (математика)|дифференциал]] обращается в нуль. Это условие эквивалентно тому, что в данной точке все [[частная производная|частные производные]] первого порядка обращаются в нуль, геометрически оно означает, что [[касательная плоскость|касательная]] гиперплоскость к [[график функции|графику функции]] горизонтальна.
В простейшем случае ''n''=1 это значит, что [[Производная функции|производная]] <math>f'</math> в данной точке равна нулю. Это условие является необходимым (но не достаточным) для того, чтобы [[внутренняя точка]] области могла быть точкой [[локальный минимум|локального минимума]] или максимума дифференцируемой функции<ref name="автоссылка1">''Зорич В. А.'' Математический анализ, том 1 — Любое издание, гл. VIII.</ref>.
Понятие критической точки допускает обобщение на случай дифференцируемых отображений <math>f:\R^n\to\R^m</math>, и на случай дифференцируемых отображений произвольных [[многообразие|многообразий]] <math>f:N^n\to M^m</math>. В этом случае определение критической точки состоит в том, что [[ранг матрицы|ранг]] [[Матрица Якоби|матрицы Якоби]] отображения <math>f</math> в ней меньше максимально возможного значения, равного <math>\min \{n,m\}</math>.
Строка 9:
== Формальное определение ==
'''Критической''' (или '''особой''' или '''стационарной''') точкой непрерывно дифференцируемого отображения <math>f: \R^n\to\R^m</math> называется такая точка <math>x_0 \in \R^n</math>, в которой [[Дифференциал (математика)|дифференциал]] этого отображения <math>f_*=\frac{\partial f}{\partial x}</math> является '''вырожденным''' линейным преобразованием соответствующих касательных пространств <math>T_{x_0}\R^n</math> и <math>T_{f(x_0)}\R^m</math>, то есть [[Векторное пространство|размерность]] [[Функция (математика)|образа]] преобразования <math>f_*(x_0)</math> меньше <math>\min \{n,m\}</math><ref name="автоссылка2">''Зорич В. А.'' Математический анализ, том 1 — Любое издание, гл. VIII, пар. 4.</ref>. В координатной записи при <math>n = m</math> это означает что [[якобиан]] — определитель [[матрица Якоби|матрицы Якоби]] отображения <math>f</math>, составленной из всех частных производных <math>\frac{\partial f_j}{\partial x_i}</math> — обращается в точке <math>x_0</math> в нуль<ref
== Теорема Сарда ==
Строка 34:
Естественным обобщение леммы Морса для вырожденных критических точек является '''теорема Тужрона:''' в окрестности вырожденной критической точки функции ''f'', дифференцируемой бесконечное число раз (<math>C^{\infty}</math>) конечной [[кратность (критической точки)|кратности]] <math>\mu</math> существует система координат, в которой гладкая функция <math>f(x)</math> имеет вид многочлена <math>P_{\mu+1}(x)</math> степени <math>\mu+1</math> (в качестве <math>P_{\mu+1}(x)</math> можно взять многочлен Тейлора функции <math>f(x)</math> в точке <math>0</math> в исходных координатах)<ref>''Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М.'' Особенности дифференцируемых отображений.</ref><ref>''Самойленко А. М.'' Об эквивалентности гладкой функции полиному Тэйлора в окрестности критической точки конечного типа, — Функц. анализ и его прил., 2:4 (1968), стр. 63-69.</ref>.
При <math>m=1</math> имеет смысл вопрос о максимуме и минимуме функции. Согласно известному утверждению математического анализа, непрерывно дифференцируемая функция <math>f</math>, определенная во всем пространстве <math>\R^n</math> или в его открытом подмножестве, может достигать локального максимума (минимума) только в критических точках, причем если точка невырождена, то матрица <math>\Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}\Bigr)=\Bigl(\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}\Bigr),</math> <math>i,j=1,\ldots,n,</math> в ней должна быть отрицательно (положительно) [[Положительно определённая матрица|определённой]]. Последнее является также достаточным условием локального максимума (соответственно, минимума)<ref
== Случай ''n'' = ''m'' = 2 ==
| |||