Дзета-функция Римана: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Д.Ильин (обсуждение | вклад) дополнение, уточнение, оформление |
Частичная отмена: было правильно. см. страницу обсуждения |
||
Строка 1:
{{перенаправление|Дзета-функция|Дзета-функции}}
{{другие значения термина|Риман|Риман}}
[[Файл:Zeta function graph.png|thumb|right|300 px|
'''Дзе́та-фу́нкция Ри́мана''' — функция <math>\displaystyle \zeta(s)</math> комплексного переменного <math>s = \sigma + i t</math>, при <math>\sigma > 1 </math> определяемая с помощью [[ряд Дирихле|ряда Дирихле]]:
Строка 9:
В комплексной полуплоскости при <math>\sigma > 1 ~(\left\{ s\mid\operatorname{Re}\,s > 1\right\})</math> этот [[Ряд (математика)|ряд]] [[Сходимость ряда|сходится]], является [[аналитическая функция|аналитической функцией]] от <math>s</math> и допускает [[аналитическое продолжение]] на всю [[Комплексная плоскость|комплексную плоскость]] за исключением особой точки <math>s = 1</math>.
[[Файл:Zeta.svg|thumb|300px|
== Тождество Эйлера ==
Строка 72:
: В частности, <math>\zeta(2) = \frac{\pi^2}{6},\ \ \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90},\ \ \zeta(6) = \frac{\pi^6}{945},\ \ \zeta(8) = \frac{\pi^8}{9450}</math><br>
* Кроме того, получено значение <math>\zeta(3) = -\frac{\psi^{(2)}(1)}{2}</math>, где <math>\psi</math> — [[полигамма-функция]];
* Про значения дзета-функции в нечётных
* При <math>\operatorname{Re}\,s> 1</math>
** <math>\frac1{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s}</math>, где <math>\displaystyle \mu(n)</math> — [[функция Мёбиуса]]
| |||