Пучок (математика): различия между версиями

Аксиома нормализации, очевидно, выполнена, так как есть только одна непрерывная функция из пустого множества в '''R''' — [[пустая функция]]. Чтобы показать, что справедлива и аксиома склейки, предположим, что задана согласованная система непрерывных функций <math>f_i: U_i \to \mathbb{R} </math>, <math>i \in I</math>. Это означает, что ограничения функций <math>f_i</math> и <math>f_j</math> на множестве <math>U_i\cap U_j</math> должны совпадать. Определим теперь функцию <math>f: U \to \mathbb{R}</math> следующим образом: так как <math>U</math> — объединение всех <math>U_i</math>, каждая точка <math>x</math> из <math>U</math> покрыта множеством <math>U_i</math> для некоторого <math>i</math>. Определим значение функции <math>f</math> в точке <math>x</math> равным <math>f_i(x)</math>. Это определение корректно: если <math>x</math> лежит также и в <math>U_j</math>, то по условию согласованности <math>f_i(x) = f_j(x)</math>, поэтому всё равно, какой из этих функций пользоваться для определения <math>f(x)</math>. При этом функция <math>f</math> непрерывна в точке <math>x</math>, так как в её окрестности <math>U_i</math> совпадает с непрерывной функцией <math>f_i(x)</math>. В итоге функция <math>f</math> непрерывна в каждой точке из <math>U</math>, то есть непрерывна в <math>U</math>. Более того, <math>f</math> — это единственная непрерывная функция, ограничение которой на области <math>U_i</math> совпадает с <math>f_i</math>, так как функция полностью определяется своими значениями в точках. Как следствие, существует одна и только одна функция, склеенная из функций <math>f_i</math>, а именно <math>f</math>.

 

 

=== Пучки решений дифференциальных уравнений ===