Целое число: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
LGB (обсуждение | вклад) Эта вставка дублирует стоящий ниже раздел «Непротиворечивость» |
→Место в общей алгебре: дополнение, уточнение |
||
Строка 152:
== Место в общей алгебре ==
[[Файл:Set of real numbers (diagram).svg|мини|320px|Иерархия числовых множеств:<br><math>\mathbb{N}</math> — [[натуральные числа]]<br><math>\mathbb{Z}</math> — целые числа<br><math>\mathbb{Q}</math> — [[рациональные числа]]<br><math>\mathbb{R}</math> — [[вещественные числа]]<br><math>\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}</math> — [[иррациональные числа]]]]
С точки зрения [[Общая алгебра|общей алгебры]], <math>\mathbb{Z}</math> относительно сложения и умножения является бесконечным [[Коммутативная операция|коммутативным]] [[Кольцо (математика)|кольцом]] с единицей. Оно является [[Нётерово кольцо|нётеровым кольцом]], но не является [[Артиново кольцо|артиновым]]. Если расширить это кольцо, добавив к нему всевозможные [[Дробь (математика)|дроби]] (со знаком), получится [[Поле (алгебра)|поле]] [[Рациональное число|рациональных чисел]] (<math>\mathbb{Q}</math>); в нём уже выполнимо любое деление, кроме деления на ноль<ref name=VIN>{{книга|автор=Винберг Э. Б.|заглавие=Курс алгебры. 2-е изд|место=М.|издательство=Изд-во МЦНМО|год=2013|страницы=15—16|страниц=590|isbn=978-5-4439-0209-8}}</ref>.
Перечисленные выше свойства сложения целых чисел говорят о том, что относительно операции сложения <math>\mathbb{Z}</math> является [[Абелева группа|абелевой группой]], и, следовательно, также [[Циклическая группа|циклической группой]], так как каждый ненулевой элемент <math>\mathbb{Z}</math> может быть записан в виде конечной суммы {{nobr|1 + 1 + … + 1}} или {{nobr|(−1) + (−1) + … + (−1)}}. Фактически, <math>\mathbb{Z}</math> является ''единственной'' бесконечной циклической группой по сложению в силу того, что любая бесконечная циклическая [[группа (математика)|группа]] [[Изоморфизм (математика)|изоморфна]] группе <math>(\mathbb{Z},+)</math>. Относительно умножения <math>\mathbb{Z}</math> не образует группу, поскольку во множестве целых чисел деление, вообще говоря, невозможно<ref name=VIN/>.
| |||