Формула Герона: различия между версиями

2519 байт добавлено ,  2 года назад
→‎Преамбула: дополнение (Доказательство на основе теоремы Пифагора)
м (Дoбaвлeнa Категория:Площадь с помощью HotCat)
(→‎Преамбула: дополнение (Доказательство на основе теоремы Пифагора))
 
{{Hider|
title = Доказательство 1 (тригонометрическое):|
hidden = 0 |
title-style = text-align: left; |
Таким образом,
: <math>S={1\over 2}ab\sin\gamma = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},</math>
[[ч.т.д.]]}}
 
{{Hider|
title = Доказательство 2 (на основе теоремы Пифагора):|
hidden = 0 |
title-style = text-align: left; |
content-style = text-align: left; |
content =
[[Image:Triangle with notations 3.svg|thumb|270px|Треугольник со сторонами {{math|''a, b, c''}} и высотой {{math|''h''}}, разделяющей основание {{math|''c''}} на {{math|''d'' и (''c'' − ''d'')}}.]]
По [[теорема Пифагора|теореме Пифагора]] имеем следующие равенства для гипотенуз: {{math|''a''{{sup|2}} {{=}} ''h''{{sup|2}} + (''c'' − ''d''){{sup|2}}}} и {{math|''b''{{sup|2}} {{=}} ''h''{{sup|2}} + ''d''{{sup|2}}}} — см. рисунок справа. Вычитая из первого равенства второе, получаем {{math|''a''{{sup|2}} − ''b''{{sup|2}} {{=}} ''c''{{sup|2}} − 2''cd''}}. Это уравнение позволяет нам выразить {{math|''d''}} через стороны треугольника:
:<math>d=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}</math>
Для высоты {{math|''h''}} у нас было равенство {{math|''h''{{sup|2}} {{=}} ''b''{{sup|2}} − ''d''{{sup|2}}}}, в которое можно подставить полученное выражение для {{math|''d''}} и применить [[Формулы сокращённого умножения многочленов#Формулы для квадратов|формулы для квадратов]]:
:<math>
\begin{align}
h^2 & = b^2-\left(\frac{-a^2+b^2+c^2}{2c}\right)^2 = \frac{(2bc-a^2+b^2+c^2)(2bc+a^2-b^2-c^2)}{4c^2}\\
& = \frac{((b+c)^2-a^2)(a^2-(b-c)^2)}{4c^2} = \frac{(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^2}\\
\end{align}
</math>
 
Замечая, что <math>b+c-a=2p-2a</math>, <math>a+b+c=2p</math>, <math>a+b-c=2p-2c</math>, <math>a-b+c=2p-2b</math>, получаем:
:<math>
\begin{align}
h^2 & = \frac{2(p-a)\cdot 2p\cdot 2(p-c)\cdot 2(p-b)}{4c^2} = \frac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^2}
\end{align}
</math>
 
Используя основное равенство для площади треугольника <math>S = \frac{ch}2</math> и подставляя в него полученное выражение для {{math|''h''}}, в итоге имеем:
:<math>
\begin{align}
S = \sqrt{\frac{c^2}{4}\cdot \frac{4p(p-a)(p-b)(p-c)}{c^2}} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}
\end{align}
</math>
[[ч.т.д.]]}}