Упорядоченное кольцо: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
LGB (обсуждение | вклад) |
LGB (обсуждение | вклад) исправление |
||
Строка 3:
== Определение ==
Пусть <math>R</math> — [[Кольцо (алгебра)|кольцо]], для элементов которого определён [[линейный порядок]], то есть задано [[Отношение (теория множеств)|отношение]] <math>\leqslant</math> (''меньше или равно'') со следующими свойствами<ref>{{Citation|last=Lam|first=T. Y. |title=Orderings, valuations and quadratic forms|series=CBMS Regional Conference Series in Mathematics|volume=52|publisher=[[American Mathematical Society]] |year=1983 |isbn=0-8218-0702-1}}</ref>.
:
# [[Рефлексивность]]: <math>x \leqslant x</math>.
Строка 37:
* Неравенства можно умножать на неотрицательные элементы:
: Если <math>x \leqslant y</math> и <math>z \geqslant 0</math>, то <math>z x \leqslant z y</math>.
* Упорядоченное кольцо не имеет [[Делитель нуля|делителей нуля]] тогда и только тогда, когда произведение положительных элементов положительно. Пример: если в аддитивной группе целых чисел положить все произведения равными нулю, то получится упорядоченное кольцо, в котором любой элемент является делителем нуля (единица в нём не является нейтральным элементом для умножения, так что получается кольцо без единицы)<ref>{{книга |автор=Бурбаки Н. |заглавие=Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная алгебра |место=М. |издательство=Наука |год=1962 |страницы=137 |страниц=517}}</ref>{{sfn|Бурбаки|1965|с=272}}
* В упорядоченном кольце квадрат ненулевого элемента всегда неотрицателен (а если нет делителей нуля, то положителен). В самом деле, пусть <math>a \ne 0.</math> Либо <math>a,</math> либо <math>-a</math> положительно, но их квадраты совпадают, а раз квадрат положительного неотрицателен, то то же верно и для квадрата отрицательного, ч. т. д.{{sfn |Нечаев|1975|с=90|name=NECH90}}
* Упорядоченное кольцо, которое не является тривиальным (то есть содержит не только ноль), бесконечно.
| |||