Упорядоченное кольцо: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
LGB (обсуждение | вклад) исправление |
LGB (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
Строка 1:
'''Упорядоченное кольцо''' в [[Общая алгебра|общей алгебре]] — это [[Кольцо (алгебра)|кольцо]] <math>R</math> (обычно [[Коммутативное кольцо|коммутативное]]), для всех элементов которого определён [[линейный порядок]], согласованный с операциями кольца. Наиболее практически важными примерами являются кольцо [[Целое число|целых чисел]] <math>\mathbb{Z}</math> и кольца целых [[Кратное|кратных]].
[[Файл:Number-line-2.svg|715x715px|мини|center|<center>Упорядоченное кольцо [[Целое число|целых чисел]] на [[Числовая ось|числовой прямой]]</center>]]
Строка 12:
# <li value="5"> Если <math>x \leqslant y</math>, то для любого ''z'': <math>x+z \leqslant y+z</math>.
# Если <math>0 \leqslant x</math> и <math>0 \leqslant y</math>, то <math>0 \leqslant x y</math>.
Если все 6 аксиом выполнены, то кольцо <math>R</math> называется '''упорядоченным'''{{sfn|Бурбаки|1965|с=271}}.
== Примеры упорядоченных колец ==
Строка 37:
* Неравенства можно умножать на неотрицательные элементы:
: Если <math>x \leqslant y</math> и <math>z \geqslant 0</math>, то <math>z x \leqslant z y</math>.
* Упорядоченное кольцо не имеет [[Делитель нуля|делителей нуля]] тогда и только тогда, когда произведение положительных элементов положительно. Пример: если в аддитивной группе целых чисел положить все произведения равными нулю, то получится упорядоченное кольцо, в котором любой элемент является делителем нуля (единица
* В упорядоченном кольце квадрат ненулевого элемента всегда неотрицателен (а если нет делителей нуля, то положителен). В самом деле, пусть <math>a \ne 0.</math> Либо <math>a,</math> либо <math>-a</math> положительно, но их квадраты совпадают, а раз квадрат положительного неотрицателен, то то же верно и для квадрата отрицательного, ч. т. д.{{sfn |Нечаев|1975|с=90|name=NECH90}}
* Упорядоченное кольцо, которое не является тривиальным (то есть содержит не только ноль), бесконечно.
* Любое упорядоченное кольцо с единицей и без делителей нуля содержит одно и только одно подкольцо, изоморфное кольцу
== Примеры колец и полей, которые не допускают упорядочения ==
Строка 57:
* Мультипликативность: <math>|xy| = |x| |y|.</math>
* <math>|x| \leqslant y</math> равносильно <math>-y \leqslant x \leqslant y</math>
== Вариации и обобщения ==
Теория упорядоченных колец охватывает также особые случаи некоммутативных (или даже неассоциативных) колец. Исследуется и другие вариации:
* Кольцо является не линейным, а лишь [[Частично упорядоченное множество|частично упорядоченным]], то есть не все элементы можно сравнить с помощью заданного порядка<ref>[https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Ordered_ring Partially ordered ring]</ref>.
* Вместо кольца имеется [[полукольцо]], то есть в нём, вообще говоря, нет вычитания{{sfn |Нечаев|1975|с=88—89}}. Пример: [[натуральный ряд]].
== Примечания ==
| |||