Постоянная Эйлера — Маскерони: различия между версиями

Нет описания правки
* Постоянная Эйлера может быть выражена как [[интеграл]]:
*:<math>\gamma = -\int\limits_0^{\infty}\frac{\ln x}{e^x}\,dx</math>
 
*: <math>\gamma = 1-\int\limits_0^1\left\{\frac{1}{x}\right\}dx = 1-\int\limits_{1}^\infty\frac{\{x\}}{x^2}\,dx</math>, где <math>\left\{x\right\}</math> — [[дробная часть]] числа <math>x</math>.
*: <math>\gamma^2 + \frac{\pi^2}{6}=\int\limits_0^\infty { e^{-x} \ln^2 x }\,dx.</math>
*: <math>-\tfrac14(\gamma+2 \ln 2)\sqrt{\pi} = \int\limits_0^\infty { e^{-x^2} \ln x }\,dx </math>
* Также она выражается через [[Производная функции|производную]] [[Гамма-функция Эйлера|гамма-функции]]:
*: <math>\gamma = -\Gamma^{'}(1) = -\Psi(1)</math>.
* До сих пор не выявлено, является ли это число [[Рациональное число|рациональным]]. Однако теория [[цепная дробь|цепных дробей]] показывает, что если постоянная Эйлера — Маскерони — рациональная дробь, то её знаменатель должен быть больше <math>10^{242080}</math>{{nbsp|1}}.<ref name="mathworld">{{mathworld|title=Euler-Mascheroni Constant|urlname=Euler-MascheroniConstant}}</ref> При этом известно уже около 5 миллиардов членов разложения в цепную дробь, но рано или поздно она остановится, если число рационально.
* <math>\begin{align} \gamma &= \frac{3}{2}- \ln 2 - \sum_{m=2}^\infty (-1)^m\,\frac{m-1}{m} [\zeta(m)-1] \\
&= \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{2\,n-1}{2\,n} - \ln\,n + \sum_{k=2}^n \left ( \frac{1}{k} - \frac{\zeta(1-k)}{n^k} \right ) \right ] \\