Абсолютная непрерывность: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Isbur (обсуждение | вклад) →Абсолютно непрерывные функции: Добавил слово в определение, ссылку на источник; оформление формул |
Isbur (обсуждение | вклад) →Абсолютно непрерывные функции: Заготовка для подробного рассказа о теореме, связывающей липшицевость и абсолютную непрерывность |
||
Строка 17:
* Произведение абсолютно непрерывных на отрезке конечной длины функций даёт абсолютно непрерывную функцию.
* Каждая абсолютно непрерывная функция представима в виде разности двух неубывающих абсолютно непрерывных функций.
* Пусть <math> F </math> абсолютно непрерывная функция на <math>[a,b]</math>. Тогда она почти всюду дифференцируема; [[обобщённая производная]] <math>F'</math> интегрируема по Лебегу и для всех <math>x\in[a,b]</math> выполняется [[Теорема Ньютона — Лейбница|равенство]]:
:<math>\int\limits_a^x {F'(t)\,dt}=F(x)-F(a)</math>.
* Обратно, функция, имеющая на [[Промежуток (математика)|интервале]] [[Интеграл Лебега#Замечания|интегрируемую по Лебегу]] [[обобщённая производная|обобщённую производную]], является абсолютно непрерывной на нём, с точностью до множества [[Мера Лебега|лебеговой меры]] ноль.
Строка 23:
* Каждая абсолютно непрерывная функция обладает [[Свойство Лузина|свойством Лузина]].
==== Связь липшицевости и абсолютной непрерывности ====
=== Примеры ===▼
▲=== Примеры ===
Следующие функции являются непрерывными, но не абсолютно непрерывными:
| |||