Википедия

Вектор (математика): различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
(Показать все непатрулированные изменения)
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
После переноса пояснений в комментарий, стало не проще, а наоборот. Попробовал переписать проще.
Строка 45:
 
== Общее определение ==
Наиболее общее определение вектора даётся средствами [[Общая алгебра|общей алгебры]]:. Пусть <math>F</math> — некоторое [[Поле (алгебра)|поле]] с аддитивной операцией <math>+</math>, мультипликативной операцией <math>*</math>.
Пусть <math> V </math> — некоторая [[абелева группа]] с операцией <math>+</math>. Если существует операция <math>\cdot</math> типа <math> F \times V \to V</math>, такая что для любых <math>a,b \in F</math> и для любых <math>\mathbf x ,\mathbf y \in V </math> выполняются соотношения:▼
# <math>(a+b) \times cdot\mathbf x=a \times cdot\mathbf x + b \times cdot\mathbf x</math>,▼
# <math>a \times cdot(\mathbf x + \mathbf y )=a \times cdot\mathbf x + a \times cdot\mathbf y</math>,▼
# <math>(a*b) \times cdot\mathbf x = a \times cdot(b \times cdot\mathbf x )</math>,▼
# <math>1 \times cdot\mathbf x =\mathbf x</math>,▼
 
*тогда <math>\mathfrak V</math> называется ''векторным пространством'' над полем <math>\mathfrak F</math> (или [[Векторное пространство|линейным пространством]]), элементы <math>V</math> называются ''векторами'', элементы <math>F</math> — ''[[скаляр]]ами'', а указанная операция <math>\cdot</math> — ''умножением вектора на скаляр''.▼
Пусть <math>\mathfrak F= \langle F;+,* \rangle </math> и <math>\mathfrak V= \langle V;+ \rangle </math> <ref>То же самое, словами:
* Обозначим готической F некоторое [[Поле (алгебра)|поле]] элементов <math>F</math> с аддитивной операцией <math>+</math>, мультипликативной операцией <math>*</math>, и соответствующими [[Нейтральный элемент|нейтральными элементами]]: аддитивной единицей <math>0</math> и мультипликативной единицей <math>1</math>
* Обозначим готической V некоторую [[абелева группа|абелеву группу]] элементов <math>V</math> с аддитивной операцией <math>+</math> и соответственно с аддитивной единицей <math>\mathbf 0</math>
По поводу готических букв см. [[Фрактура]] и https://math.stackexchange.com/questions/284201/how-to-read-letters-such-as-mathbb-a-mathbb-b-etc-or-mathfrak-a
</ref>
 
Многие результаты [[Линейная алгебра|линейной алгебры]] обобщены до [[унитарный модуль|унитарных модулей]] над некоммутативными телами и даже произвольных [[Модуль над кольцом|модулей над кольцами]], таким образом, в наиболее общем случае, в некоторых контекстах, вектором может быть назван как любой элемент модуля над кольцом.▼
▲Если существует операция <math>F \times V \to V</math>, такая что для любых <math>a,b \in F</math> и для любых <math>\mathbf x ,\mathbf y \in V </math> выполняются соотношения:
▲# <math>(a+b) \times \mathbf x=a \times \mathbf x + b \times \mathbf x</math>,
▲# <math>a \times (\mathbf x + \mathbf y )=a \times \mathbf x + a \times \mathbf y</math>,
▲# <math>(a*b) \times \mathbf x = a \times (b \times \mathbf x )</math>,
▲# <math>1 \times \mathbf x =\mathbf x</math>,
 
тогда
▲* <math>\mathfrak V</math> называется ''векторным пространством'' над полем <math>\mathfrak F</math> (или [[Векторное пространство|линейным пространством]])
* элементы <math>V</math> называются ''векторами''
* элементы <math>F</math> — ''[[скаляр]]ами''
* указанная операция <math>F \times V \to V</math> — ''умножением вектора на скаляр''.
 
▲Многие результаты [[Линейная алгебра|линейной алгебры]] обобщены до [[унитарный модуль|унитарных модулей]] над некоммутативными телами и даже произвольных [[Модуль над кольцом|модулей над кольцами]], таким образом, в наиболее общем случае, в некоторых контекстах, вектором может быть назван любой элемент модуля над кольцом.
 
== Физическая интерпретация ==
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Вектор_(математика)