Факторпространство по подпространству: различия между версиями

м
Добавлена Категория:Факторобъекты с помощью HotCat, объединение определения с преамбулой (а то была бессодержательная микропреамбула)
м (Удаление пустых технических разделов согласно ВП:Ф-О.)
м (Добавлена Категория:Факторобъекты с помощью HotCat, объединение определения с преамбулой (а то была бессодержательная микропреамбула))
'''Факторпространство по подпространству'''  в [[линейная алгебра|линейной алгебре]]  важный[[факторпространство]], частныйопределяемое случайдля [[факторпространствовекторное пространство|факторпространстввекторного пространства]] <math>(X,\;\mathbb{F},\;+,\;\cdot)</math> по его [[Подпространство|подпространства]] <math>(X_0,\;\mathbb{F},\;+,\;\cdot)</math> как пространство над [[фактормножество]]м <math>X</math> по [[отношение эквивалентности|отношению эквивалентности]] <math>x\sim y\Leftrightarrow x-y\in X_0</math>.
Обозначение — <math>X/X_0</math>.
 
== Определение ==
Пусть <math>(X,\;\mathbb{F},\;+,\;\cdot)</math> — [[векторное пространство]], а <math>(X_0,\;\mathbb{F},\;+,\;\cdot)</math> — его [[подпространство]]. Определим [[отношение эквивалентности]] как
: <math>x\sim y\Leftrightarrow x-y\in X_0.</math>
Тогда <math>X/\,\overset{}{\sim}</math> называют факторпространством <math>X</math> по <math>X_0</math> и обозначают <math>X/X_0</math>.
 
== Факторотображение ==
Отображение <math>\varphi\colon X\mapsto X/X_0</math>, сопоставляющее каждому элементу из <math>X</math> [[отношение эквивалентности|класс эквивалентности]], в котором он лежит, называется '''факторотображением'''.
 
Факторотображение даёт возможность определить на <math>X/X_0</math> векторную структуру, задав операции <math>\langle+,\;\cdot\rangle</math> следующим образом:
 
== Сопутствующие теоремы ==
<!-- за поправки спасибо, только единственное что восклицательный знак _после_ значка существования означает единственность, а до - — отрицание, так что думаю он был по существу -->
* Существование снижения на кообраз:
: <math>\forall T\in\mathcal{L}(X,\;Y)\,\exists{!}\,T_c\in\mathcal{L}(\mathrm{coim}\,T,\;Y)\colon T=T_c\varphi,\;\ker T_c=\{0\}.</math>
: <math>\forall w\in X/X_0,\;\forall\varepsilon>0\;\exists x\in\varphi^{-1}(w)\colon p(x)\leqslant(1+\varepsilon)p_{X/X_0}(w).</math>
* [[Лемма о снежинке]].
 
== См. также ==
* [[Непрерывное отображение]]
* [[Замкнутое множество]]
* [[Ядро (алгебра)|Ядро линейного отображения]]
* [[Функция (математика)|Образ отображения]]
 
== Литература ==
[[Категория:Линейная алгебра]]
[[Категория:Функциональный анализ]]
[[Категория:Факторобъекты]]