Википедия

Фактормножество: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
стандартизация дефиниции, rq, категория
лучше здесь оставить только теоретико-множественную часть
Строка 4:
Для любого элемента <math>x\in X</math> однозначно определён некоторый класс из <math>X/\!\sim</math>, иными словами существует [[сюръективное отображение]] из <math>X</math> в <math>X/\!\sim</math>. Класс, содержащий <math>x</math>, иногда обозначают <math>[x]</math>.
 
Если множество снабжено структурой, то часто отображение <math>X\to X/\!\sim</math> можно использовать, чтобы снабдить фактормножество <math>X/\!\sim</math> той же структурой,; например классы эквивалентности [[Топологическоетопологическое пространство|топологического пространства]] можно снабдить индуцированной топологией ([[факторпространство]]), классы эквивалентности алгебраической системы снабдить теми же операциями и отношениями ([[факторсистема]]).
В этом случае множество <math>X/\!\sim</math> с индуцированной структурой называется '''факторпространством'''.
 
== Применения и примеры ==
== Факторпространство по подпространству ==
Часто отношение эквивалентности вводят следующим образом. Пусть <math>X</math> — [[Векторное пространство|линейное пространство]], а <math>L</math> — некоторое линейное подпространство. Тогда два элемента <math>x,\;y\in X</math> таких, что <math>x-y\in L</math>, называются '''[[Отношение эквивалентности|эквивалентными]]'''. Это обозначается <math>x\,\overset{L}{\sim}\,y</math>. Получаемое в результате факторизации пространство <math>X/\,\overset{L}{\sim}</math> называют [[Факторпространство по подпространству|факторпространством по подпространству]] <math>L</math>. Если <math>X</math> разлагается в [[прямая сумма|прямую сумму]] <math>X=L\oplus M</math>, то существует [[изоморфизм]] из <math>M</math> в <math>X/\,\overset{L}{\sim}</math>. Если <math>X</math> — [[конечномерное пространство]], то факторпространство <math>X/\,\overset{L}{\sim}</math> также является конечномерным и <math>\dim X/\,\overset{L}{\sim}=\dim X-\dim L</math>.
 
== Примеры ==
Если задано [[сюръективное отображение]] <math>f\colon X\to Y</math>, тогда на множестве <math>X</math> задаётся отношение <math>x\sim x'\iff f(x)=f(x')</math>. Можно рассмотреть фактормножество <math>X/\!\sim</math>. Функция <math>f</math> задаёт естественное [[Взаимно-однозначное отображение|взаимно-однозначное]] соответствие между <math>X/\!\sim</math> и <math>Y</math>.
 
Строка 17 ⟶ 13 :
Если для факторизации линейного пространства вводится некоторое его подпространство и считается, что если разность двух элементов исходного пространства принадлежит этому подпространству, то эти элементы эквивалентны, то фактормножество является линейным пространством и называется факторпространством.
 
* [[Проективная плоскость|Проективную плоскость]] <math>\R P^2</math> можно определить как факторпространство [[Сфера#Двумерная сфера (в трёхмерном пространстве)|двумерной сферы]], задав отношение эквивалентности <math>(x,\;y,\;z)\sim(-x,\;-y,\;-z)</math>.▼
=== Примеры ===
 
▲* [[Проективная плоскость|Проективную плоскость]] <math>\R P^2</math> можно определить как факторпространство [[Сфера#Двумерная сфера (в трёхмерном пространстве)|двумерной сферы]], задав отношение эквивалентности <math>(x,\;y,\;z)\sim(-x,\;-y,\;-z)</math>.
* [[Бутылка Клейна|Бутылку Клейна]] можно представить как факторпространство цилиндра <math>S^1\times[0,\;1]</math> по отношению эквивалентности <math>(\varphi,\;0)\sim(-\varphi,\;1)</math> (<math>\varphi\in[-\pi,\;\pi]</math> — угловая координата на окружности).
 
== Свойства ==
Строка 33 ⟶ 29 :
 
== Совместимость с другими топологическими понятиями ==
{{перенести раздел|Факторпространство}}
* [[Аксиомы отделимости|Отделимость]]
** В общем случае факторпространства плохо себя ведут относительно аксиом отделимости. Свойства отделимости множества ''X'' не обязательно наследуются при ''X''/~ и ''X''/~ могут иметь свойства отделимости, не существующие в ''X''.
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Фактормножество