Коммуникационная сложность: различия между версиями

Нет описания правки
(определения матрицы функции и пример EQ)
Метка: редактор вики-текста 2017
''Коммуникационная сложность вычисления функции <math>f</math>'', обозначатся <math>D(f)</math>, определяется как минимальное количество бит коммуникации, которого достаточно для решения поставленной задачи в худшем случае (т.е. этого количества битов должно быть достаточно для любой пары <math>x,y</math>).
 
Опираясь на это определение удобно думать о функции {{mvar|f}}, как о функции, заданной [[Матрица (математика)|матрицей]] {{mvar|A}}, в которой строки индексированныиндексированы элементами <math>x \in X</math>, а столбцы, соответственно, элементами <math>y \in Y</math>. В каждой ячейке этой матрицы, индексированной элементами {{mvar|x}} и {{mvar|y}}, записано соответствующее значение {{mvar|f}}, т.е. <math>A_{\mathrm{x,y}}=f(x,y)</math>. Алиса и Боб знают функцию {{mvar|f}}, а следовательно знают матрицу {{mvar|A}}. Далее, Алисе выдаётся номер строчки {{mvar|x}}, а Бобу -- номер столбца {{mvar|y}}, и их задача -- определить значение, записанное в соответствующей ячейке. Поэтому, если в какой-то момент один из игроков будет знать одновременно и номер столбца и номер строчки, то он будет знать и значение в соответствующей ячейке. В начале коммуникации каждый игрок ничего не знает про строчку другого игрока, поэтому с точки зрения Алисы ответом может быть любое значение в строчке с номером {{mvar|x}}, а с точки зрения Боба -- любое значение в столбце {{mvar|y}}. В процессе коммуникации с каждым переданным битом появляется новая информация, которая позволяет игрокам отсекать часть возможных ячеек. Например, если в какой-то момент Алиса передаёт бит {{mvar|b}}, то с точки зрения Боба все возможные к этому моменту входы Алисы делятся на два множества: те, для которых Алиса послала бы <math>b=0</math>, и те, для которых Алиса послала бы <math>b=1</math>. Зная значение бита {{mvar|b}} Боб отсекает часть возможных входов Алисы и таким образом сужает множество возможных с его точки зрения ячеек. При этом с точки зрения внешнего наблюдателя после каждого сообщения сужается либо множество возможных строк, либо множество возможных столбцов, и таким образом множество возможных ячеек сужается на некоторую [[Подматрица|подматрицу]] матрицы {{mvar|A}}.
 
Более формально, будем называть множество <math>R \subseteq X \times Y</math> называется ''(комбинаторным) прямоугольником'', если из того, <math>(x_1,y_1) \in R</math> и <math>(x_2,y_2) \in R</math>, следует, что <math>(x_1,y_2) \in R</math> и <math>(x_2,y_1) \in R</math>. Тогда каждая подматрица матрицы {{mvar|A}} ассоциируется с комбинаторными прямоугольником {{mvar|R}}, таким что <math>R = M \times N</math>, где <math>M \subseteq X</math> и <math>N \subseteq Y</math>. Теперь рассмотрим ситуацию, когда между участниками уже переданно {{mvar|k}} битов. Пусть эти первые {{mvar|k}} битов задаются строкой <math>h \in \{0,1\}^k</math>. Тогда можно определить множество пар входов <math>T_{\mathrm{h}} \subseteq X \times Y</math>, на которых первые {{mvar|k}} равны <math>h</math>
=== Пример: функция EQ ===
 
Пусть <math>X=Y=\{0,1\}^n, Z=\{0,1\}</math>. Рассмотрим задачу, в которой Алиса и Боб хотят определить, даны ли им одинаковые строки, т.е. они хотят проверить, что <math>x=y</math>. Несложно показать, что для решения этой задачи ''проверки равенства'' ''(EQ)'' потребуется передать {{mvar|n}} битов в худшем случае, если мы хотим быть научиться отвечать на этот вопрос точно для всех возможных пар {{mvar|x}} и {{mvar|y}}.
 
Для случая <math>n = 3</math> строки {{mvar|x}} и {{mvar|y}} состоят из трёх битов. Функция равенства в этом случае определяется следующей матрицей, в которой строки индексированы входами Алисы, а строчки -- входами Боба.