Гекзакисикосаэдр: различия между версиями

22 байта добавлено ,  2 года назад
м
промежуток
м (промежуток)
 
'''Гекзакисикоса́эдр''' (от {{lang-grc|ἑξάκις}} — «шестижды», {{lang-grc2|εἴκοσι}} — «двадцать» и {{lang-grc2|ἕδρα}} — «грань»), также называемый '''дисдакистриаконта́эдром''' (от {{lang-grc|δίς}} — «дважды», {{lang-grc2|δυάκις}} — «два раза», {{lang-grc2|τριάκοντα}} — «тридцать» и {{lang-grc2|ἕδρα}} — «грань»), — [[полуправильный многогранник]] (каталаново тело), [[Двойственный многогранник|двойственный]] [[Ромбоусечённый икосододекаэдр|ромбоусечённому икосододекаэдру]].
 
Составлен из 120 одинаковых разносторонних остроугольных [[треугольник]]ов с углами <math>\arccos \, \frac{9+5\sqrt5}{24} \approx 32{,}77^\circ,</math> <math>\arccos \, \frac{15-2\sqrt5}{20} \approx 58{,}24^\circ</math> и <math>\arccos \, \frac{5-2\sqrt5}{30} \approx 88{,}99^\circ.</math>
 
Имеет 62 вершины; в 12 вершинах (расположенных так же, как вершины [[икосаэдр]]а) сходятся своими наименьшими углами по 10 граней, в 20 вершинах (расположенных так же, как вершины [[додекаэдр]]а) сходятся своими средними по величине углами по 6 граней, в 30 вершинах (расположенных так же, как вершины [[икосододекаэдр]]а) сходятся своими наибольшими углами по 4 грани.
 
У гекзакисикосаэдра 180 рёбер — 60 «длинных» (расположенных так же, как рёбра [[ромботриаконтаэдр]]а), 60 «средних» и 60 «коротких». [[Двугранный угол]] при любом ребре одинаков и равен <math>\arccos \left(-\frac{179+24\sqrt5}{241}\right) \approx 164{,}89^\circ.</math>
 
Гекзакисикосаэдр можно получить из [[ромботриаконтаэдр]]а, приложив к каждой грани того неправильную четырёхугольную [[Пирамида (геометрия)|пирамиду]] с [[ромб]]ическим основанием, равным грани ромботриаконтаэдра, и высотой, которая в <math>2\sqrt{17+\frac{31\sqrt5}{5}} \approx 11{,}11</math> раз меньше стороны основания.
 
Гекзакисикосаэдр — одно из трёх каталановых тел, в которых существует [[эйлеров путь]]<ref>{{mathworld|urlname=ArchimedeanDualGraph|title=Графы каталановых тел}}</ref>.
== Метрические характеристики ==
 
Если «короткие» рёбра гекзакисикосаэдра имеют длину <math>a</math>, то его «средние» рёбра имеют длину <math>\frac{3}{10}(3+\sqrt5)a \approx 1{,}57a,</math> а «длинные» рёбра — длину <math>\frac{1}{5}(7+\sqrt5)a \approx 1{,}85a.</math>
 
Площадь поверхности и объём многогранника при этом выражаются как
 
:<math>S = \frac{3}{5}\sqrt{10\left(1257+541\sqrt5\right)}\;a^2 \approx 94{,}2346327a^2,</math>
:<math>V = \frac{1}{5}\sqrt{6\left(14765+6602\sqrt5\right)}\;a^3 \approx 84{,}1819754a^3.</math>
 
Радиус вписанной [[Сфера|сферы]] (касающейся всех граней многогранника в их [[инцентр]]ах) при этом будет равен
 
:<math>r = \sqrt{\frac{3}{4820}\left(5795+2569\sqrt5\right)}\;a \approx 2{,}6799693a,</math>
 
радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер) —
 
:<math>\rho = \frac{1}{20}\left(25+13\sqrt5\right)a \approx 2{,}7034442a.</math>
 
Описать около гекзакисикосаэдра сферу — так, чтобы она проходила через все вершины, — невозможно.