Группа вращений: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 6:
== Свойства ==
* Группы вращений <math>\mathrm{SO}(3)</math> и вообще <math>\mathrm{SO}(n), n > 2</math> некоммутативны.
*
* Группа <math>\mathrm{SO}(3)</math> [[диффеоморфизм|диффеоморфна]] [[проективное пространство|проективному пространству]] размерности 3. По [[теорема вращения Эйлера|теореме вращения Эйлера]], любое вращение можно задать прямой (осью вращения, заданной единичным вектором <math>v</math>), проходящей через центр координат, и углом <math>\varphi \in [-\pi,\pi]</math>. Можно было бы сопоставить каждому вращению вектор <math>\varphi v</math> и тем самым отождествить элементы группы вращения с точками шара радиуса <math>\pi</math>. Однако, такое сопоставление не было бы биективным, так как углам <math>\pi</math> и <math>-\pi</math> соответствует одно и то же вращение. Поэтому, отождествив диаметрально противоположные точки на границе шара, получим [[проективное пространство]].
* [[Универсальная накрывающая]] группы <math>\mathrm{SO}(3)</math> является [[специальная унитарная группа|специальной унитарной группой]] <math>\mathrm{SU}(2)</math>, или, что то же самое, группой единичных по модулю [[кватернион]]ов (действующих на касательном пространстве к единичной сфере сопряжениями). При этом [[накрытие]] двулистно.
| |||