Дисперсия случайной величины: различия между версиями

* Если <math>X = X(\omega, \tau)</math> - случайная величина от пары элементарных событий (случайная величина на декартовом произведении вероятностных пространств), то
*: <math>D_{(\omega,\tau)}[X] = M_{\omega}[D_{\tau}[X]] + D_{\omega}[M_{\tau}[X]]</math>
 
* Если <math>X, Y</math> - две числовые случайные величины, а <math>M[X|Y], D[X|Y]</math> - условное математическое ожидание и условная дисперсия величины <math>X</math> относительно величины <math>Y</math>, тогда
== Условная дисперсия ==
*: <math>D[X] = M[D[X|Y]] + D[M[X|Y]]</math>
Наряду с условным математическим ожиданием <math>M[X|Y]</math> в теории случайных процессов используется условная дисперсия случайных величин <math>D[X|Y]</math>.
 
Условной дисперсией случайной величины <math>X</math> относительно случайной величины <math>Y</math> называется случайная величина
: <math>D[X|Y] = M[(X-M[X|Y])^2|Y] = M[X^2|Y] - M[X|Y]^2</math>
Её свойства:
* Условная дисперсия относительно случайной величины <math>Y</math> является Y-измеримой случайной величиной (то есть измерима относительно [[сигма-алгебра|сигма-алгебры]], порождённой случайной величиной <math>Y</math>);
* Условная дисперсия неотрицательна: <math>D[X|Y]\geqslant 0</math>;
* Условная дисперсия <math>D[X|Y]</math> равна нулю тогда и только тогда, когда <math>X = M[X|Y]</math> почти наверное, то есть тогда и только тогда, когда <math>X</math> совпадает почти наверное с некоторой Y-измеримой величиной (а именно, с <math>M[X|Y]</math>);
* Обычная дисперсия также может быть представлена как условная: <math>D[X] = D[X|1]</math>;
* Если величины <math>X</math> и <math>Y</math> независимы, случайная величина <math>D[X|Y]</math> является константой, равной <math>D[X]</math>.
* Если <math>X, Y</math> - две числовые случайные величины, то
*: <math>D[X] = M[D[X|Y]] + D[M[X|Y]]</math>,
:откуда, в частности, следует, что дисперсия условного математического ожидания <math>M[X|Y]</math> всегда меньше или равна дисперсии исходной случайной величины <math>X</math>.
 
== Пример ==