|
Обозначим эти разности через <math>d</math>. Итак, <math>a_2-a_1=a_3-a_2=\ldots =a_n-a_{n-1}=a_{n+1}-a_n=d</math>, а отсюда имеем <math>a_{n+1}=a_n+d</math> для <math>n \in \mathbb N</math>. Поскольку для членов последовательности <math>a_1, a_2, a_3, \ldots</math> выполняется соотношение <math>a_{n+1}=a_n+d</math>, то это есть арифметическая прогрессия.
|}
=== Сумма первых <math>n</math> членов арифметической прогрессии ===
Сумма первых <math>n</math> членов арифметической прогрессии <math>S_n=\sum_{i=1}^n a_i=a_1+a_2+ \ldots + a_n</math> может быть найдена по формулам
: <math>S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n</math> , где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>a_n</math> — член с номером <math>n</math>, <math>n</math> — количество суммируемых членов.
: <math>S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot (\frac{a_n-a_1}{a_2-a_1}+1)</math> — где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>a_2</math> — второй член прогрессии <math>, a_n</math> — член с номером <math>n</math>.
: <math>S_n=\frac{2a_1+d(n-1)}2 \cdot n</math> , где <math>a_1</math> — первый член прогрессии, <math>d</math> — разность прогрессии, <math>n</math> — количество суммируемых членов.
{| class="wikitable collapsible collapsed" width=100%
! Доказательство
|-
| Запишем сумму двумя способами:
<math>S_n=a_1+a_2+a_3+ \ldots +a_{n-2}+a_{n-1}+a_n</math>
<math>S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+ \ldots +a_3+a_2+a_1</math> — та же сумма, только слагаемые идут в обратном порядке.
Теперь сложим оба равенства, последовательно складывая в правой части слагаемые, которые стоят на одной вертикали:
<math>2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+ \ldots +(a_{n-2}+a_3)+(a_{n-1}+a_2)+(a_n+a_1)</math>
Покажем, что все слагаемые (все скобки) полученной суммы равны между собой. В общем виде каждое слагаемое можно подать в виде <math>a_i+a_{n-i+1}, i=1,2,\ldots,n</math>. Воспользуемся формулой общего члена арифметической прогрессии:
<math>a_i+a_{n-i+1}=a_1+(i-1)d+a_1+(n-i+1-1)d=2a_1+(n-1)d, i=1,2,\ldots,n</math>
Получили, что каждое слагаемое не зависит от <math>i</math> и равно <math>2a_1+(n-1)d</math>. В частности, <math>a_1+a_n=2a_1+(n-1)d</math>. Поскольку таких слагаемых <math>n</math>, то
<math>2S_n=(a_1+a_n)\cdot n \Rightarrow S_n=\frac{a_1+a_n}2 \cdot n</math>
Третья формула для суммы получается подстановкой <math>2a_1+(n-1)d</math> вместо <math>a_1+a_n</math>. Что и так непосредственно следует из выражения для общего члена.
'''Замечание''':
Вместо <math>a_1+a_n</math> в первой формуле для суммы можно взять любое из других слагаемых <math>a_i+a_{n-i+1}, i=2,3,\ldots,n</math>, так как они все равны между собой.
|}
| 