Мощность множества: различия между версиями

29 байт добавлено ,  2 года назад
м
многоточие
м (этимология)
м (многоточие)
 
== Примеры ==
* Множество называется [[конечное множество|конечным]], если оно равномощно отрезку натурального ряда <math>I_n = \{1,2,...,n\}</math> при некотором неотрицательном целом <math>n</math>. Число <math>n</math> выражает количество элементов конечного множества. При <math>n=0</math> множество не содержит элементов (пустое множество). Если <math>n<m</math>, то не существует [[инъективное отображение|инъективного отображения]] из <math>I_m</math> в <math>I_n</math> ([[принцип Дирихле (комбинаторика)|принцип Дирихле]]), а значит, не существует и [[биекция|биекции]] между ними. Поэтому множества <math>I_m</math> и <math>I_n</math> имеют различную мощность.
 
* Множество называется [[счётное множество|счётным]], если оно равномощно множеству всех натуральных чисел <math>\mathbb{N}</math>. Счётными множествами являются:
** Множество <math>\mathbb{N}\setminus I_k</math> при любом натуральном <math>k</math>. Соответствие: <math>n\rightarrow n+k</math>.
** Множество <math>\mathbb{N}\cup \{0\}</math>. Соответствие: <math>n\rightarrow n-1</math>.
** Множество целых чисел <math>\mathbb{Z}</math>. Соответствие получается при сопоставлении членов ряда <math>0 + 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ...\dots</math> его частичным суммам (члены ряда берутся без учёта знака).
** Множество пар натуральных чисел <math>\mathbb{N}\times\mathbb{N}</math>.
** Множество рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math> инъективно отображается во множество <math>\mathbb{Z}\times\mathbb{N}</math> (несократимой дроби вида <math>p/q</math> соответствует пара чисел <math>(p,q)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{N}</math>). Поэтому множество рациональных чисел не более, чем счётно. Но так как оно содержит множество натуральных чисел, то оно и не менее, чем счётно. По [[теорема Кантора-Бернштейна|теореме Кантора-Бернштейна]] оно счётно.
*:<math>|A\cup B\cup C |+ |A\cap B| + |A\cap C| + |B \cap C|=|A| + |B| + |C| + |A \cap B \cap C|</math>
*Мощность [[Симметрическая разность|симметрической разности]] двух и трёх множеств:
*:<math>|A\Deltabigtriangleup B|+ 2\cdot |A\cap B|=|A| + |B| </math>
*:<math>|A\Deltabigtriangleup B\Deltabigtriangleup C |+2|A\cap B| + 2|A\cap C| + 2|B \cap C|=|A| + |B| + |C| + 3|A \cap B \cap C|</math>
 
== Арифметика кардинальных чисел ==
 
Если <math>\kappa \ge 2</math> и <math>\mu \ge 1</math>, причём хотя бы одно из них бесконечно, то
: <math>\max\{\kappa, 2^\mu\} \le \kappa^\mu \le \max\{2^\kappa, 2^\mu\}</math>.
 
Используя [[Теорема Кёнига_(теория множеств)|теорему Кёнига]], можно доказать, что для любого бесконечного кардинального числа <math>\kappa</math> выполняются неравенства: