Конечное поле: различия между версиями

3 байта добавлено ,  2 года назад
м
многоточие
м (откат правок 176.59.53.5 (обс.) к версии LGB)
Метка: откат
м (многоточие)
=== Вклад Галуа ===
[[Файл:Evariste galois.jpg|right|thumb|Эварист Галуа]]
В 1830 году восемнадцатилетний [[Галуа, Эварист|Эварист Галуа]] опубликовал работу<ref name=":7">Evariste Galois (1830), ''Sur la théorie des nombres''. Bulletin des sciences mathématiques de M. Férussac 13, pp 428—435 (1830)</ref>, которая положила основу общей теории конечных полей. В этой работе Галуа (в связи с исследованиями по теории групп перестановок и алгебраических уравнений<ref>{{книга|автор=Бурбаки Н.|заглавие=Очерки по истории математики|ответственный=пер. с фр. И. Г. Башмаковой под ред. К. А. Рыбникова|место=М.|издательство=ИЛ|год=1963|страницы=102}}</ref>) вводит воображаемый корень сравнения <math>F(x)\equiv 0\pmod p</math>, где <math>F(x)</math> — произвольный многочлен степени <math>\nu</math>, [[неприводимый многочлен|неприводимый]] по модулю ''p''. После этого рассматривается общее выражение <math>A = a_0 + {a_1}i + {a_2}i^2 + ...\ldots + a_{\nu-1}i^{\nu-1}</math>, где <math>a_0, a_1, ..., a_{\nu-1}</math> — некие целые числа по модулю ''p''. Если присваивать этим числам всевозможные значения, выражение <math>A</math> будет принимать <math>p^{\nu}</math> значений. Далее Галуа показывает, что эти значения образуют поле и мультипликативная группа этого поля является циклической. Таким образом, эта работа является первым камнем в фундаменте общей теории конечных полей. В отличие от его предшественников, рассматривающих только поля <math>\mathbb F_p</math>, Галуа рассматривает уже поля <math>\mathbb F_{p^n}</math>, которые начали называть '''полями Галуа''' в его честь<ref>{{книга |автор= Israel Kleiner.|заглавие= A History of Abstract Algebra|ссылка= |место= |издательство= Birkhäuser|год= 2007|страниц= 168|страницы= 70|isbn= 978-0-8176-4684-4}}</ref>.
 
На самом деле, первая работа в этом направлении была написана Гауссом примерно в 1797 году, однако при его жизни это исследование так и не было издано. Вероятно, данное исследование было проигнорировано редактором его сочинений, поэтому на свет эта работа появилась только в посмертном издании в 1863 году<ref>{{Книга |автор=G. Frei. |заглавие=The Unpublished Section Eight: On the Way to Function Fields over a Finite Field|страницы=159-198 |год=2007 |издательство=Goldstein Schappacher Schwermer}}</ref>.