Геометрическая прогрессия: различия между версиями

м
многоточие
м (откат правок 213.87.122.3 (обс.) к версии Alexei Kopylov)
Метка: откат
м (многоточие)
| Содержание = <math> P_n = \prod_{i=1}^n b_i = \prod_{i=1}^n b_1 q^{i-1} = b_1^n \prod_{i=1}^n q^{i-1} = b_1^{ \frac{n}{2} } b_1^{ \frac{n}{2} } \prod_{i=1}^n q^{i-1} </math>
Раскроем произведение <math>\prod_{i=1}^n q^{i-1}</math>:
<math>\prod_{i=1}^n q^{i-1} = q^0 \cdot q^1 \cdot q^2 \cdot ...\ldots \cdot q^{i-1} = q^{ 0 + 1 + 2 + ...\ldots + (i-1) }</math>
Выражение <math>0 + 1 + 2 + ...\ldots + (n-1)</math> представляет собой [[Арифметическая прогрессия|арифметическую прогрессию]] с <math>a_1=0</math> и шагом 1. Сумма первых n членов прогрессии равна <math>S_n = n \cdot \frac{a_1+a_n}{2} = n \cdot \frac{0+(n-1)}{2}</math>.
Откуда
<math>P_n = b_1^{ \frac{n}{2} } b_1^{ \frac{n}{2} } \prod_{i=1}^n q^{i-1} = b_1^{ \frac{n}{2} } b_1^{ \frac{n}{2} } q^{ \frac{ n(0 + (n - 1)) }{2} } = ( b_1 b_1 q^{n-1} )^{ \frac{n}{2} } = ( b_1 b_n )^{ \frac{n}{2} } </math>