Идеал (алгебра): различия между версиями

36 байт добавлено ,  2 года назад
м
многоточие
м (→‎Замечание: викификация)
м (многоточие)
 
{{Якорь|Порождённый идеал}}
* '''Идеал, порождённый множеством элементов.''' Пересечение произвольного семейства левых идеалов кольца ''R'' — левый идеал кольца ''R''. Поэтому для всякого подмножества ''M'' кольца ''R'' существует минимальный левый идеал, его содержащий, а именно — пересечение всех левых идеалов, содержащих множество ''M''. (То же верно для правых и двусторонних идеалов.) Для кольца ''R'' с единичным элементом минимальный левый идеал представляет собой множество конечных сумм вида <math>r_1m_1 + ...\ldots + r_nm_n</math>, минимальный правый идеал — множество конечных сумм вида <math>m_1r_1 + ...\ldots + m_nr_n</math>, минимальный двусторонний идеал — множество конечных сумм вида <math>r_1m_1r'_1 + ...\ldots + r_nm_nr'_n</math>, где ''m<sub>i</sub>'' — произвольные элементы множества ''M'', а ''r<sub>i</sub>,r'<sub>i</sub>'' — произвольные элементы кольца ''R''. Если кольцо не содержит единицы, то минимальный левый идеал будет иметь вид <math>r_1m_1 + ...\ldots + r_nm_n + k_1m'_1 + ...\ldots + k_sm'_s</math>, минимальный правый <math>m_1r_1 + ...\ldots + m_nr_n+ k_1m'_1 + k_2m'_2 + ...\ldots + k_sm'_s</math>, минимальный двусторонний <math>r_1m_1r'_1 + ...\ldots + r_nm_nr'_n + k_1r''_1m'_1 + ...\ldots + k_sr''_sm'_s + k'_1m''_1r'''_1 + ...\ldots +k'_tm''_tr'''_t + k''_1m'''_1... + \ldots + k''_wm''''_w</math>, где все <math>k_i (k'_i)</math> — любые целые числа. Эти идеалы называются порождёнными множеством ''M''. В коммутативном случае все они совпадают и обозначаются так: ''(M)''. Идеалы, порождённые конечным множеством, называются [[конечнопорождённый идеал|конечнопорождёнными]].
 
* '''Сумма идеалов.''' Если в кольце ''R'' задано произвольное семейство идеалов <math>I_{\alpha} </math>, их суммой <math>\sum I_{\alpha}</math> называется минимальный идеал, который их всех содержит. Он порождён объединением этих идеалов, и его элементами являются любые конечные суммы элементов из их объединения (само объединение идеалов обычно идеалом не является). Относительно суммы все (левые, правые или двусторонние) идеалы кольца (или алгебры) образуют [[Решётка (теория множеств)|решётку]]. Каждый идеал является суммой главных идеалов. Часто, особенно в коммутативной алгебре, сумма называется наибольшим общим делителем).