Закон больших чисел: различия между версиями

м
многоточие
м
м (многоточие)
== Варианты ==
 
Рассмотрим последовательность независисимых в совокупности случайных величин <math>X_1, X_2, ...</math>, [[Интеграл Лебега|интегрируемых по Лебегу]], которые имеют одинаковые распределения, следовательно, и одинаковые математические ожидания <math>E(X_1) = E(X_2) = ...\ldots =\mu</math>.
 
Обозначим через <math>\overline {X}_{n}</math> среднее арифметическое рассматриваемых случайных величин:
 
<math>\overline {X}_{n} = \frac{1}{n}(X_1 + ...\ldots +X_n )</math>
 
оно сходится к [[Математическое ожидание|математическому ожиданию]]
Усиленный закон больших чисел утверждает, что при определенных условиях с вероятностью единица происходит неограниченное сближение средних арифметических последовательности случайных величин с некоторыми постоянными величинами.
 
Пусть <math>X_1, X_2, ...</math> - последовательность случайных величин и <math>\overline {X}_{n} = \frac{1}{n}(X_1 + ...\ldots +X_n )</math>.
 
Говорят, что последовательность <math>X_1, X_2, ...</math> удовлетворяет усиленному закону больших чисел, если существует такая последовательность <math>\mu_n</math>'','' что вероятность соотношения: <math>{\overline {X}}_{n} - \mu_n\ {\xrightarrow {}}\ 0</math>, при <math>n \rightarrow \infin</math> равна <math>\mathit{1}</math>.
 
== Доказательство слабого закона ==
Рассмотрим бесконечную последовательность <math>X_1, X_2, ...</math> независимых и одинаково распределенных случайных величин с конечным математическим ожиданием <math>E(X_1) = E(X_2) = ...\ldots = \mu < \infin</math>, нас интересует сходимость по вероятности
 
<math>{\overline {X}}_{n}={\tfrac {1}{n}}(X_{1}+\cdots +X_{n}).</math>
 
=== Доказательство с использованием неравенства Чебышёва, предполагающего конечную дисперсию ===
Предположение о конечной дисперсии <math>D(X_1) = D(X_2) = ...\ldots =\sigma^2<\infin</math> не является обязательным. Большая или бесконечная дисперсия замедляет сходимость, но ЗБЧ выполняется в любом случае.
 
Это доказательство использует предположение о конечной дисперсии <math>\operatorname {D} (X_{i})=\sigma ^{2} </math> (для всех <math>i</math>). Независимость случайных величин не предполагает корреляции между ними, мы имеем