Формулы Виета: различия между версиями

9 байт добавлено ,  2 года назад
м
многоточие
м (откат правок 213.87.224.214 (обс.) к версии Ivtorov)
Метка: откат
м (многоточие)
== Формулировка ==
Если <math>c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n}</math> — корни многочлена
: <math>x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + ...\ldots + a_n,</math>
(каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты <math>a_1, \ldots, a_n</math> выражаются в виде [[симметрический многочлен|симметрических многочленов]] от корней{{sfn |Алгебра многочленов|1980|с=26-28}}, а именно:
: <math display="inline">\begin{matrix}
 
Если старший коэффициент многочлена не равен единице:
: <math>a_0x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + ...\ldots + a_n,</math>
то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на <math>a_0</math> (это не влияет на значения корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для [[Соотношение|отношений]] всех коэффициентов к старшему:
: <math>\frac{a_k}{a_0} = (-1)^k\sum_{1\leqslant i_1 < i_2 < \cdots < i_k\leqslant n} c_{i_1}c_{i_2}\cdots c_{i_k}, \ k=1,2\dots n</math>
Доказательство осуществляется рассмотрением равенства, полученного разложением многочлена по корням, учитывая, что <math> a_0 = 1</math>
 
: <math>x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + ...\ldots + a_n = (x - c_1)(x - c_2) \cdots (x - c_n)</math>
 
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях <math>x</math> ([[теорема единственности]]), получаем формулы Виета.