Дважды стохастическая матрица: различия между версиями

м
многоточие
м (→‎top: replaced: ее → её)
м (многоточие)
* '''Теорема Биркгофа'''. Множество <math>\Omega_n</math> всех дважды стохастических матриц образует выпуклый многогранник, вершины которого — [[Матрица перестановки|матрицы перестановки]]. Иначе говоря, если <math>A \in \Omega_n</math>, то <math>A = \sum_{j=1}^{s} \theta_{j} P_{j}</math>, где <math>P_{1}, ..., P_{s}</math> — матрицы перестановки, а <math>\theta_{1}, ..., \theta_{s}</math> — неотрицательные числа, <math>\sum_{j=1}^{s} \theta_{j} = 1</math>{{sfn|Задачи и теоремы линейной алгебры|с=223|1996}}
* Любая дважды стохастическая матрица <math>S</math> порядка <math>n</math> является выпуклой линейной комбинацией не более чем <math>n^{2}-2n+2</math> матриц перестановок{{sfn|Задачи и теоремы линейной алгебры|с=225|1996}}.
* Пусть <math>x_{1} \geqslant x_{2} \geqslant ...\ldots \geqslant x_{n}</math> и <math>y_{1} \geqslant y_{2} \geqslant ...\ldots \geqslant y_{n}</math>, причем <math>x_{1} + ...\ldots + x_{k} \leqslant y_{1} + ...\ldots + y_{k}</math> при всех <math>k < n</math> и <math>x_{1} + ...\ldots + x_{n} = y_{1} + ...\ldots + y_{n}</math>. Тогда существует такая дважды стохастическая матрица <math>S</math>, что <math>Sy=x</math>{{sfn|Задачи и теоремы линейной алгебры|с=225|1996}}.
 
== Примечания ==