Теорема Голода — Шафаревича: различия между версиями

м
многоточие
м (многоточие)
 
Пусть <math>T = F \left [ x_{1}, ..., x_{d} \right ]</math> — [[Кольцо (математика)|кольцо]] полиномов от некоммутирующих переменных <math>x_{1}, ..., x_{d}</math> над произвольным [[Поле (алгебра)|полем]] <math>F</math>. Пусть <math>T</math> является [[Градуированная алгебра|градуированной алгеброй]] благодаря определению на ней функции степени.
 
Представим <math>T</math> в виде суммы [[Подпространство|подпространств]] <math>T = T_{0} + T_{1} + ...\ldots + T_{n} + ...\ldots</math>,
где <math>T_{0} = F</math>, а <math>T_{n}</math> имеет [[базис]] из <math>d^{n}</math> элементов вида <math>x_{i_{1}}x_{i_{2}}...x_{i_{n}}</math>, где переменные <math>x_{i_{j}}</math> выбираются из множества <math>\left \{ x_{1}, ..., x_{d} \right \}</math>.
 
Назовем элементы пространства <math>T_{n}</math> '''однородными элементами''' степени <math>n</math>.
 
Пусть <math>\mathfrak{U} = (f_{1}, f_{2}, ...)</math> — двусторонний [[Идеал (алгебра)|идеал алгебры]] <math>T</math>, порождённый '''однородными элементами''' <math> f_{1}, f_{2}, ... </math> степеней <math> n_{1}, n_{2}, ... </math> соответственно. Упорядочим <math> n_{1}, n_{2}, ... </math> так, чтобы <math>2 \leqslant n_{1} \leqslant n_{2} \leqslant ...\ldots </math>. Число тех элементов <math>f_{j}</math>, степени которых равны <math>i</math> обозначим как <math>r_{i}</math>.
 
[[Факторалгебра]] <math>A=T / \mathfrak{U}</math> наследует градуировку из <math>T</math> вследствие того, что идеал <math>\mathfrak{U}</math> порожден '''однородными элементами'''.
 
Факторалгебра может быть представлена в виде суммы <math>A = A_{0} + A_{1} + ...\ldots + A_{n} + ...\ldots</math>, где <math>A_{i} \simeq T / \mathfrak{U} \cap T_{i}</math>.
 
Пусть <math>b_{n}=\dim_{F}A_{n}</math>.