Десятичная дробь: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
← Содержимое страницы заменено на «<br /> Категория:Числа Категория:Дроби» Метки: замена через визуальный редактор |
м откат правок 5.140.87.88 (обс.) к версии 212.45.1.190 Метка: откат |
||
Строка 1:
'''Десяти́чная [[Дробь (математика)|дробь]]''' — разновидность дроби, которая представляет собой способ представления [[действительное число|действительных чисел]] в виде
: <math>\pm d_m \ldots d_1 d_0{,} d_{-1} d_{-2} \ldots</math>
где
: <math>\pm</math> — ''знак дроби'': либо <math>+</math>, либо <math>-</math>,
: <math>,</math> — ''десятичная запятая'', служащая [[Десятичный разделитель|разделителем]] между целой и дробной частью числа ([[Межгосударственный стандарт (ГОСТ)|стандарт стран СНГ]])<ref>''Знак запятой'' «<math>,</math>» — ''десятичная запятая'' ({{lang-en|decimal comma}}) — как разделитель целой и дробной частей десятичной дроби принят в России, европейских странах (кроме Великобритании и Ирландии) и многих других странах, на которые они имели культурное влияние. В англоязычных странах и странах, на которые они имели влияние, для этого используется знак точки «<math>.</math>» — ''десятичная точка'' ({{lang-en|decimal point}}), а знак запятой используется для группировки цифр целой части числа по три десятичных разряда (так называемый ''разделитель групп разрядов'', в России для этого используется ''знак неразрывного пробела'' «{{nbsp}}»). Например, дробь <math>\frac{1~000~000}{3}</math> в десятичной записи в российском стандарте будет выглядеть так: <math>{333~333{,}333333}(3)</math>, а в английском стандарте так: <math>{~333,333.333333(3)}</math>. Подробнее см. [[Десятичный разделитель]].</ref>,
: <math>d_k</math> — [[десятичная система счисления|десятичные цифры]]. Причём последовательность цифр ''до запятой'' (слева от неё) конечна (как минимум одна цифра), а ''после запятой'' (справа от неё) — может быть как конечной (в частности, цифры после запятой могут вообще отсутствовать), так и бесконечной.
Примеры:
* <math>123{,}45</math> (конечная десятичная дробь)
* Представление [[Пи (число)|числа <math>\pi</math>]] в виде бесконечной десятичной дроби: <math>3{,}1415926535897...</math>
Значением десятичной дроби <math>\pm d_m \ldots d_1 d_0, d_{-1} d_{-2} \ldots</math> является действительное число
: <math>\pm \left (d_m \cdot 10^m + \ldots + d_1 \cdot 10^1 + d_0 \cdot 10^0 + d_{-1} \cdot 10^{-1} + d_{-2} \cdot 10^{-2} + \ldots \right ),</math>
равное [[сумма ряда|сумме]] конечного или бесконечного числа слагаемых.
Представление действительных чисел с помощью десятичных дробей является обобщением записи [[Целое число|целых чисел]] в [[десятичная система счисления|десятичной системе счисления]]. В представлении целого числа в виде десятичной дроби отсутствуют цифры после запятой, и таким образом, это представление имеет вид
: <math>\pm d_m \ldots d_1 d_0,</math>
что совпадает с записью этого числа в десятичной системе счисления.
== Конечные и бесконечные десятичные дроби ==
=== Конечные дроби ===
Десятичная дробь называется ''конечной'', если она содержит конечное число цифр после запятой (в частности, ни одного), то есть имеет вид
: <math>\pm a_0{,}a_1 a_2 \ldots a_n</math>
В соответствии с определением эта дробь представляет число
: <math>\pm \sum_{k=0}^{n} a_k \cdot 10^{-k}</math>
Легко видеть, что это число можно представить в виде [[Обыкновенная дробь|обыкновенной дроби]] вида <math>p/10^{s}</math>, знаменатель которой является степенью десятки. Обратно, любое число вида <math>p/10^{s}</math>, где <math>p</math> — целое, а <math>s</math> — целое неотрицательное, можно записать в виде конечной десятичной дроби.
Если обыкновенную дробь <math>p/10^{s}</math> привести к несократимому виду, её знаменатель будет иметь вид <math>2^{m} 5^{n}</math>. Таким образом, имеет место следующая теорема о представимости действительных чисел в виде конечных десятичных дробей.
'''''Теорема.''''' ''Действительное число представимо в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда оно является рациональным и при записи его несократимой дробью <math>p/q</math> знаменатель <math>q</math> не имеет [[Простое число|простых]] [[Делитель|делителей]], отличных от <math>2</math> и <math>5</math>.''
=== Бесконечные дроби ===
Бесконечная десятичная дробь
: <math>\pm a_0{,}a_1 a_2 \ldots</math>
представляет, согласно определению, действительное число
: <math>\pm \sum_{k=0}^{\infty} a_k \cdot 10^{-k}</math>
Этот ряд [[Сумма ряда#Сходимость|сходится]], каковы бы ни были целое неотрицательное <math>a_0</math> и десятичные цифры <math>a_1, a_2, \ldots</math>. Это предложение вытекает из того факта, что данный ряд [[Признак сходимости ряда|мажорируется]] сходящимся рядом
: <math>a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} 9 \cdot 10^{-k}</math>
== Представление действительных чисел десятичными дробями ==
Таким образом, всякая конечная или бесконечная десятичная дробь представляет некоторое вполне определённое действительное число. Остаются следующие вопросы:
# Всякое ли действительное число может быть представлено в виде десятичной дроби?
# Единственно ли такое представление?
# Каков [[алгоритм]] разложения числа в десятичную дробь?
Эти вопросы освещаются ниже.
=== Алгоритм разложения числа в десятичную дробь ===
Ниже описывается алгоритм построения по произвольному действительному числу <math>\alpha</math> десятичной дроби, которая является его представлением.
Рассмотрим вначале случай <math>\alpha \geqslant 0</math>. Разделим всю числовую прямую целочисленными точками на отрезки единичной длины. Рассмотрим тот отрезок <math>I_0</math>, который содержит точку <math>\alpha</math>; в частном случае, когда точка <math>\alpha</math> является концом двух соседних отрезков, в качестве <math>I_0</math> выберем ''правый отрезок''.
[[Файл:Числовая прямая, разделенная целочисленными точками.png|center|]]
Если обозначить целое неотрицательное число, являющееся левым концом отрезка <math>I_0</math>, через <math>a_0</math>, то можно записать:
: <math>I_0 = [a_0 \, ; \, a_0 + 1]</math>
На следующем шаге разделим отрезок <math>I_0</math> на десять равных частей точками
: <math>a_0 + b/10, \; b = 1, \ldots, 9</math>
и рассмотрим тот из отрезков длины <math>1/10</math>, на котором лежит точка <math>\alpha</math>; в случае когда эта точка является концом двух соседних отрезков, из этих двух отрезков опять выберем ''правый''.
[[Файл:Построение_десятичного_представления_числа,_этап_1.png|center]]
Обозначим этот отрезок <math>I_1</math>. Он имеет вид:
: <math>I_1 = \left [ a_0 + \frac{a_1}{10} \, ; \, a_0 + \frac{a_1 + 1}{10} \right ]</math>
Будем продолжать аналогичным образом процесс измельчения числовой прямой и последовательного уточнения положения точки <math>\alpha</math>.
На очередном шаге, имея отрезок <math>I_{n-1}</math>, содержащий точку <math>\alpha</math>, мы делим его на десять равных отрезков и выбираем из них тот отрезок <math>I_{n}</math>, на котором лежит точка <math>\alpha</math>; в случае когда эта точка является концом двух соседних отрезков, из этих двух отрезков выбираем ''правый''.
Продолжая этот процесс мы получим последовательность отрезков <math>I_0, I_1, \ldots</math> вида
: <math>I_n = \left [ a_0 + \frac{a_1}{10^1} + \ldots + \frac{a_n}{10^n} \, ; \, a_0 + \frac{a_1}{10^1} + \ldots + \frac{a_n}{10^n} + \frac{1}{10^n} \right]</math>
где <math>a_0</math> — целое неотрицательное, а <math>a_1, a_2, \ldots</math> — целые числа, удовлетворяющие неравенству <math>0 \leqslant a_k \leqslant 9</math>.
Построенная последовательность отрезков <math>I_0, I_1, \ldots</math> обладает следующими свойствами:
* Отрезки последовательно вложены друг в друга: <math>I_0 \supset I_1 \supset I_2 \supset \ldots</math>
* Длина отрезков <math>|I_n| = 10^{-n}, \; n = 0, 1, 2, \ldots</math>
* Точка <math>\alpha</math> принадлежит всем отрезкам последовательности
Из этих условий следует, что <math>I_0, I_1, \ldots</math> есть система [[Лемма о вложенных отрезках|вложенных отрезков]], длины которых [[Бесконечно малая последовательность|стремятся к нулю]] при <math>n \to \infty</math>, а точка <math>\alpha</math> есть общая точка всех отрезков системы. Отсюда вытекает, что последовательность левых концов отрезков сходится к точке <math>\alpha</math> (аналогичное утверждение справледливо и для последовательности правых концов), то есть
: <math>a_0 + \frac{a_1}{10^1} + \ldots + \frac{a_n}{10^n} \to \alpha</math> при <math>n\to \infty</math>
Это значит, что ряд
: <math>\sum_{k=0}^{\infty} a_k \cdot 10^{-k}</math>
сходится к числу <math>\alpha</math>, и таким образом, десятичная дробь
: <math>a_0{,}a_{1} a_{2} \ldots</math>
является представлением числа <math>\alpha</math>. Таким образом, найдено разложение неотрицательного числа <math>\alpha</math> в десятичную дробь.
Полученная десятичная дробь является бесконечной по построению. При этом может оказаться, что начиная с некоторого номера, все десятичные знаки после запятой суть нули, то есть дробь имеет вид
: <math>a_0{,}a_1 \ldots a_n 000 \ldots</math>
Нетрудно видеть, что эта возможность имеет место в том случае, когда на некотором шаге точка <math>\alpha</math> совпадает с одной из точек деления числовой прямой. В этом случае отбрасывая в сумме
: <math>\sum_{k=0}^{\infty} a_k \cdot 10^{-k}</math>
нулевые слагаемые, получим, что число <math>\alpha</math> также может быть представлено конечной десятичной дробью
: <math>a_0{,} a_1 \ldots a_n</math>
Вообще, ясно, что приписывая в конец десятичной дроби после запятой любое количество нулей (в том числе бесконечное), мы не изменяем значение дроби. Таким образом, в данном случае число <math>\alpha</math> может быть представлено как конечной, так и бесконечной десятичной дробью (полученной из первой приписыванием бесконечного числа нулей).
Тем самым рассмотрен случай неотрицательного <math>\alpha</math>. В случае отрицательного <math>\alpha</math>, в качестве десятичного представления этого числа можно взять представление противоположного ему ''положительного'' числа, взятое со знаком «минус».
Приведенный алгоритм дает способ разложения произвольного действительного числа в десятичную дробь. Тем самым доказана следующая
'''''Теорема.''''' ''Всякое действительное число может быть представлено в виде десятичной дроби.''
=== О роли аксиомы Архимеда ===
Приведенный алгоритм разложения действительного числа в десятичную дробь существенно опирается на свойство системы действительных чисел, называемое [[аксиома Архимеда|аксиомой Архимеда]].
Это свойство было использовано дважды в алгоритме. В самом начале построения выбиралось целое <math>a_0</math>, такое, что действительное число <math>\alpha</math> находится между <math>a_0</math> и следующим целым <math>a_0 + 1</math>:
: <math>a_0 \leqslant \alpha < a_0 + 1, \; a_0 \in \mathbb{Z}</math>
Однако существование такого целого числа <math>a_0</math> надо ещё доказать: нельзя исключать, например, возможность, когда, каково бы ни было целое <math>n</math>, всегда имеет место неравенство <math>n \leqslant \alpha</math>. Если бы этот случай имел место, то, очевидно, нужного числа <math>a_0</math> не нашлось бы.
Эта возможность как раз исключается аксиомой Архимеда, согласно которой каково бы ни было число <math>\alpha</math>, всегда найдётся целое <math>n</math> такое, что <math>n > \alpha</math>. Теперь среди чисел <math>k= 1, \ldots, n</math> возьмём наименьшее, обладающее свойством <math>k > \alpha</math>. Тогда
: <math>k - 1 \leqslant \alpha < k</math>
Искомое число найдено: <math>a_0 = k-1</math>.
Второй раз аксиома Архимеда неявно использовалась при доказательстве стремления к нулю длин отрезков последовательности <math>I_0, I_1, I_2, \ldots</math>:
: <math>\lim_{n \to \infty} 10^{-n} = 0</math>
Строгое доказательство данного предложения опирается на аксиому Архимеда. Докажем эквивалентное соотношение
: <math>\lim_{n \to \infty} 10^{n} = \infty</math>
В соответствии с аксиомой Архимеда, каково бы ни было действительное число <math>E >0</math>, последовательность натуральных чисел <math>1, 2, \ldots</math> превзойдёт его, начиная с некоторого номера. А поскольку для всякого <math>n</math> имеет место неравенство
: <math>10^n > n</math>
то последовательность <math>10^n</math> также превзойдёт <math>E</math>, начиная с того же номера. В соответствии с определением [[Предел последовательности|предела]] числовой последовательности, это означает, что <math>\lim_{n \to \infty} 10^{n} = \infty</math>.
=== Неоднозначность представления в виде десятичной дроби ===
{{См. также|0,(9)}}
С помощью приведённого алгоритма мы можем для любого действительного числа <math>\alpha</math> построить десятичную дробь, представляющую данное число. Однако может случиться, что это же самое число <math>\alpha</math> может быть представлено в виде десятичной дроби и другим образом.
Неединственность представления чисел в виде десятичных дробей уже следует из того тривиального факта, что, приписывая конечной дроби справа после запятой нули, мы будем получать формально различные десятичные дроби, представляющие одно и то же число.
Однако, если даже считать дроби, полученные путём приписывания в конец друг другу конечного или бесконечного количества нулей, тождественными, представление некоторых действительных чисел всё же остаётся неединственным.
Рассмотрим например, десятичную дробь
: <math>0{,}99\ldots</math>
Согласно определению, эта дробь является представлением числа <math>0 + 9/10 + 9/100 + \ldots = 1</math>. Вместе с тем, это число может быть также представлено в виде десятичной дроби <math>1{,}00\ldots</math>.
Этот пример можно обобщить. Можно показать, что дроби
: <math>\pm a_0{,}a_1 \ldots a_{n-1} a_n 999 \ldots</math>
и
: <math>\pm a_0{,}a_1 \ldots a_{n-1} (a_n+1) 000</math>
где <math>a_n \neq 9</math>, представляют одно и то же действительное число.
Оказывается, этим общим примером исчерпываются все случаи неоднозначности представления действительных чисел в виде десятичных дробей. При этом мы, конечно, не рассматриваем тривиальные случаи дробей, полученные приписыванием нулей в конец друг другу, а также пару дробей <math>+ 0{,}00 \ldots</math> и <math>- 0{,}00 \ldots</math>.
Эти результаты можно суммировать в следующей теореме.
'''''Теорема.''''' ''Всякое действительное число <math>\alpha</math>, не представимое в виде <math>p/10^s</math>, где <math>p</math> — целое, <math>s</math> — целое неотрицательное, допускает единственное представление в виде десятичной дроби; при этом эта дробь является бесконечной.''
''Всякое действительное число вида <math>\alpha = p/10^s</math> может быть представлено в виде десятичной дроби более чем одним способом. Если <math>\alpha \neq 0</math>, то оно может быть представлено как в виде конечной десятичной дроби, а также бесконечной дроби, полученной приписыванием нулей в конец после запятой, так и в виде бесконечной дроби, оканчивающейся на <math>999 \ldots</math>. Число <math>\alpha = 0</math> может быть представлено дробями вида <math>+0{,}00 \ldots</math>, а также дробями вида <math>-0{,}00 \ldots</math>.''
'''''Замечание.''''' Бесконечные дроби, оканчивающиеся на <math>999\ldots</math>, получаются, если в приведённом выше алгоритме всегда выбирать ''левый отрезок'' вместо ''правого''.
==== Лишние нули и погрешность ====
{{main|Округление}}
Следует отметить, что, с точки зрения [[Погрешность|погрешности]], запись десятичной дроби с нулями в конце не совсем тождественна записи без этих нулей.
Принято считать, что, если погрешность не указана, то [[абсолютная погрешность]] десятичной дроби равна плюс-минус половине{{Нет АИ|2011|06|24}}<!-- или всё-таки не половина единицы, а целая единица? --> единицы последнего написанного разряда. Например, запись «3,7» означает, что абсолютная погрешность равна ±0,05. А в записи «3,700» абсолютная погрешность равна ±0,0005.
Другие примеры:
* «25» — абсолютная погрешность равна ±0,5 (также, такая запись может означать точное значение 25: например, 25 штук);
* «25,0» — абсолютная погрешность равна ±0,05;
* «25,00» — абсолютная погрешность равна ±0,005.
== Периодические десятичные дроби ==
Бесконечная десятичная дробь называется ''периодической'', если её последовательность цифр после запятой, начиная с некоторого места, представляет собой периодически повторяющуюся группу цифр. Другими словами, периодическая дробь — десятичная дробь, имеющая вид
: <math>\pm a_0, a_1 \ldots a_m \underbrace{b_1 \ldots b_l} \underbrace{b_1 \ldots b_l} \ldots</math>
Такую дробь принято кратко записывать в виде
: <math>\pm a_0, a_1 \ldots a_m ( b_1 \ldots b_l )</math>
Повторяющаяся группа цифр <math>b_1 \ldots b_l</math> называется ''периодом'' дроби, количество цифр в этой группе — длиной периода.
Если в периодической дроби период следует сразу после запятой, то дробь называется ''чистой периодической''. Если же между запятой и первым периодом имеются цифры, дробь называется ''смешанной периодической'', а группа цифр после запятой до первого знака периода — ''предпериодом'' дроби. Например, дробь <math>1{,}(23) = 1{,}2323 \ldots</math> является чистой периодической, а дробь <math>0{,}1(23)=0{,}12323 \ldots</math> — смешанной периодической.
Основное свойство периодических дробей, благодаря которому их выделяют из всей совокупности десятичных дробей, заключается в том, что периодические дроби и только они представляют [[Рациональное число|рациональные числа]]. Точнее, имеет место следующее предложение.
'''''Теорема.''''' ''Всякая бесконечная периодическая десятичная дробь представляет рациональное число. Обратно, если рациональное число раскладывается в бесконечную десятичную дробь, то эта дробь является периодической.''
Можно показать, что чисто периодические дроби соответствуют рациональным числам, в записи которых в виде несократимой дроби <math>p/q</math> знаменатель <math>q</math> ''не имеет'' [[простое число|простых]] [[Делитель|делителей]] <math>2</math> и <math>5</math>, а также рациональным числам <math>p/q</math>, у которых знаменатель <math>q</math> ''имеет только'' простые делители <math>2</math> и <math>5</math>. Соответственно, смешанные периодические дроби соответствуют несократимым дробям <math>p/q</math>, знаменатель <math>q</math> которых имеет как простые делители <math>2</math> или <math>5</math>, так и отличные от них.
== Перевод из десятичной дроби в обыкновенную ==
Предположим, что дана периодическая десятичная дробь <math>x=0{,}(1998)</math> с периодом 4. Заметим, что домножив её на <math>10^4 = 10000</math>, получим большую дробь <math>10000x=1998{,}(1998)</math> с теми же цифрами после запятой. Отняв целую часть (<math>1998</math>), на которую увеличилась дробь после её умножения, получаем исходную дробь (<math>x</math>)<ref>{{книга
| заглавие = [[Энциклопедия для детей]]
| место = М.
| издательство = Аванта+
| год = 2001
| том = 11. Математика
| isbn = 5-8483-0015-1
}}, страница 179</ref>:<br>
<math>10000x-1998=x</math>
<br>[[Импликация|<math>\Rightarrow</math>]]
<br><math>10000x-x=1998</math>
<br>[[Импликация|<math>\Rightarrow</math>]]
<br><math>x=\frac{1998}{9999}=\frac{222}{1111}</math>
== Произношение десятичных дробей ==
В русском языке десятичные дроби читаются так: сначала произносится целая часть, потом слово «целых» (или «целая»), потом дробная часть так, как если бы всё число состояло только из этой части, то есть числитель дроби — количественное числительное женского рода (одна, две, восемь и т. д.), а знаменатель — порядковое числительное (десятая, сотая, тысячная, десятитысячная и т. д.).
''Например: 5,45 — пять целых, сорок пять сотых.''
Для более длинных чисел иногда десятичную часть разбивают по [[Именные названия степеней тысячи|степеням тысячи]].
''Например: 0,123 456 — ноль целых, сто двадцать три тысячных, четыреста пятьдесят шесть миллионных.''
Однако на практике часто как более рациональное, превалирует такое произношение: целая часть, союз «и» (часто опускается), дробная часть.
''Например: 5,45 — пять и сорок пять; (пять-сорок пять).''
Для периодических десятичных дробей произносят часть числа до периода (выраженную целым числом в случае чистой периодической дроби или конечной десятичной дробью в случае смешанной периодической дроби), а затем добавляют число в периоде.
''Например: 0,1(23) — ноль целых, одна десятая и двадцать три в периоде; 2,(6) — две целых и шесть в периоде.''
== История ==
Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске ([[суаньпань]]). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционную<ref>''Jean-Claude Martzloff''. A History of Chinese Mathematics. Springer. 1997. ISBN 3-540-33782-2.</ref>.
[[Империя Тимуридов|Тимуридский]] математик и астроном [[Ал-Каши|Джамшид Гияс-ад-дин аль-Каши]] (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались в трудах [[Ал-Уклидиси]], жившего на 5 веков раньше<ref>{{книга |автор=Berggren J. Lennart. |часть=Mathematics in Medieval Islam |заглавие=The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook |место=Princeton |издательство=Princeton University Press |год=2007 |страницы=518 |isbn=978-0-691-11485-9 }}</ref>.
В Европе первоначально десятичные дроби записывали как целые числа в некотором оговоренном масштабе; например, тригонометрические таблицы [[Региомонтан]]а (1467) содержали значения, увеличенные в 100000 раз и затем округлённые до целого. Первые десятичные дроби в Европе ввёл [[Иммануил Бонфис]] около 1350 года, в 1579 году их употребление пытался пропагандировать [[Виет, Франсуа|Виет]]. Но широкое распространение они получили только после появления сочинения [[Стевин, Симон|Симона Стевина]] «Десятая» (1585)<ref>{{книга |автор=Гутер Р. С., Полунов Ю. Л. |заглавие=Джон Непер, 1550—1617 |ответственный= |место=М. |издательство=Наука |год=1980 |страниц=226 |серия=Научно-биографическая литература |страницы=197—204}}</ref>.
== См. также ==
* [[Десятичный разделитель]]
* [[Десятичная система счисления]]
* [[Обыкновенная дробь]]
* [[Непрерывная дробь]]
== Примечания ==
{{примечания}}
== Ссылки ==
* [http://uztest.ru/abstracts/?idabstract=42 ЕГЭ математика. Периодическая дробь]
* [http://underlamp.com/?go=lessons/arifmetika2 Задачи по теме «обыкновенные и десятичные дроби»]
* ''Семёнова Л.'' [http://kvant.mccme.ru/pdf/2000/02/kv0200semenova.pdf Периодические дроби.]
[[Категория:Числа]]
| |||