Действие группы: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Tosha (обсуждение | вклад) м откат правок 2A00:4802:32F:F00:35DE:526B:4614:615C (обс.) к версии АРГО-67 Метка: откат |
Robiteria (обсуждение | вклад) м Унификация написания по наименованию основной статьи; косметические изменения |
||
Строка 1:
[[Файл:Group action on equilateral triangle.svg|right|thumb|Вращения вокруг центра [[Правильный треугольник|равностороннего треугольника]] на углы, кратные 120°, действуют на множестве вершин этого треугольника, циклически переставляя их.]]
'''Действие группы''' на некотором множестве объектов позволяет изучать [[Симметрия|симметрии]] этих объектов с помощью аппарата [[теория групп|теории групп]].
== Определения ==
=== Действие слева ===
Говорят, что [[группа (математика)|группа]] <math>G</math> ''действует слева'' на множестве <math>M</math>, если задан [[гомоморфизм групп|гомоморфизм]] <math>\Phi\colon G\to S(M)</math> из группы <math>G</math> в [[симметрическая группа|симметрическую группу]] <math>S(M)</math> множества <math>M</math>.
Для краткости <math>(\Phi(g))(m)</math> часто записывают как <math>gm</math>, <math>g\cdot m</math> или <math>g.m</math>.
Строка 15:
# <math>em=m</math>, где <math>e</math> — нейтральный элемент группы <math>G</math>. Можно сказать, что единица группы соотносит каждому элементу <math>M</math> его же; такое преобразование называется ''тождественным''.
=== Действие справа ===
Аналогично, правое действие группы <math>G</math> на
При этом часто используют сокращенное обозначение: <math>\rho(g)(m) =: xg</math>.
При этом аксиомы гомоморфизма записываются следующим образом:
Строка 22:
# <math>me = m.</math>
=== Комментарии ===
* Любое правое действие группы <math>G</math> — это левое действие <math>G^{op}</math>.
* Если множество <math>M</math> снабжено какой-то дополнительной структурой, то обычно предполагается, что отображение <math>m\mapsto gm</math> сохраняет эту структуру.
** Например, если <math>M</math> — [[топологическое пространство]], то <math>m\mapsto gm</math> предполагается непрерывным (а значит, гомеоморфизмом). Такое действие группы более точно называется ''непрерывным действием''.
Строка 36:
* Непрерывное действие группы на пространстве ''жёстко'' (или ''квазианалитично''), если из того, что некоторый элемент группы действует как тождественное отображение на некотором открытом подмножестве пространства, следует, что это единичный элемент группы.
** Любое эффективное непрерывное действие изометриями на связном римановом многообразии обязательно жёстко, чего нельзя сказать об общих метрических пространствах. Например, действие циклической группы порядка 2 перестановкой двух рёбер на графе, образованном тремя рёбрами, выходящими из одной точки, является эффективным, но не жёстким.
* Непрерывное действие группы называется ''кокомпактным'', если
== Орбиты ==
| |||