Линейное отображение: различия между версиями

м
Унификация написания по наименованию основной статьи; косметические изменения
[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
м (Унификация написания по наименованию основной статьи; косметические изменения)
Параллелограмм, показанный на рисунке справа получается путём умножения матрицы '''A''' на каждый вектор-столбец <math>\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} </math> и <math>\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}</math>. Эти векторы соответствуют вершинам единичного квадрата.
 
В следующей таблице приведены примеры матриц 2 × 2 над вещественными числами с соответствующими им линейными преобразованиями '''R'''<sup>2</sup>. Синим цветом обозначена исходная координатная сетка, а зеленым — трансформированная. Начало координат (0,0) обозначено черной точкой.
{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
|-
* Пусть <math>A:L_K\to L_K</math>. Подпространство <math>M\subset L_K</math> называется ''инвариантным'' относительно линейного отображения, если <math>\forall x\in M, Ax\in M</math><ref>Или: <math>AM\subset M</math>.</ref>.
: Критерий инвариантности. Пусть <math>M\subset X</math> — подпространство,такое что <math>X</math> разлагается в [[прямая сумма|прямую сумму]]: <math>X=M\oplus N</math>. Тогда <math>M</math> инвариантно относительно линейного отображения <math>A</math> тогда и только тогда, когда <math>P_MAP_M=AP_M</math>, где <math>P_M</math> — [[Проектор (алгебра)|проектор]] на подпространство <math>M</math>.
* '''Фактор-операторы'''<ref>Также употребляется написание '''фактороператоры'''.</ref>. Пусть <math>A:L_K\to L_K</math> — линейный оператор и пусть <math>M</math> — некоторое инвариантное относительно этого оператора подпространство. Образуем [[Факторпространство по подпространству|факторпространство]] <math>L_K/\,\overset{M}{\sim}</math> по подпространству <math>M</math>. Тогда '''фактор-оператором''' называется оператор <math>A^+</math> действующий на <math>L_K/\,\overset{M}{\sim}</math> по правилу: <math>\forall x^+\in L_K/\,\overset{M}{\sim}, A^+ x^+=[Ax]</math>, где <math>[Ax]</math> — класс из фактор-пространствафакторпространства, содержащий <math>Ax</math>.
* Между [[Двойственное пространство|двойственными пространствами]] задано идущее в обратную сторону [[Двойственное пространство#Двойственные отображения|двойственное отображение]].