'''Тео́рия поле́й кла́ссов''' изучает [[абелево расширение|абелевы расширения]] некоторых типов [[поле (алгебра)|полей]]<ref>{{cite web|url=https://www.rfbr.ru/rffi/ru/project_search/o_301000|title=Издание монографии Э. Артин, Дж. Тейт "Теория полей классов", перевод на русский язык - Поиск по проектам и заявкам - Конкурсы - Портал РФФИ}}</ref><ref name="ГАЛУА ТЕОРИЯ • Большая российская энциклопедия - электронная версия">{{cite web|url=https://bigenc.ru/mathematics/text/2342270|title=ГАЛУА ТЕОРИЯ • Большая российская энциклопедия - электронная версия}}</ref>.
СуществуетСреди толькотипов дляполей, некоторыхохватываемых типовтеорией полей классов, среди которых— [[Алгебраическое числовое поле|поле алгебраических чисел]]<ref name="ГАЛУА ТЕОРИЯ • Большая российская энциклопедия - электронная версия" /> и поле [[p-адическое число|p-адических чисел]]<ref name="Теория - поля - классы - Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1">{{cite web|url=https://www.ngpedia.ru/id506893p1.html|title=Теория - поля - классы|website=Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1|publisher=НПЦ Знание 2019}}</ref>. (То есть в рамках [[алгебраическая теория чисел|алгебраической теории чисел]] теория полей классовТПК изучает абелевы расширения поля алгебраических чисел<ref name="ГАЛУА ТЕОРИЯ • Большая российская энциклопедия - электронная версия" /><ref name="Ивасава К. Локальная теория полей классов" />, а в рамках теории p-адических чисел — абелевы расширения поля р-адических чисел<ref name="Теория - поля - классы - Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1" />.)
Задачей теории полей классов является для заданного (фиксированного) поля описать все абелевы расширения (конечные расширения с коммутативной группой Галуа)<ref name="Ивасава К. ЭтоЛокальная теория полей классов" /><ref name="ГАЛУА ТЕОРИЯ • Большая российская энциклопедия - электронная версия" />, причём это описание теория даёт в терминах основного поля<ref name="Ивасава К. Локальная теория полей классов" />. Кроме того, онатеория полей классов изучает арифметику абелевых расширений заданного поля, а именно законы разложения простых [[идеал (алгебра)|идеалов]] этого поля в каком-то из всевозможных расширений и законы взаимности<ref name="Ивасава К. Локальная теория полей классов">{{cite book|title=Ивасава К. Локальная теория полей классов. М.: Мир, 1983. — 184 с.|quote=Теория полей классов — глобальная и локальная — является одной из вершин классической алгебраической теории чисел. Ее цель — описание абелевых расширений (т. е. расширений с коммутативной группой Галуа) данного глобального или локального поля. Это описание дается в терминах основного поля. Одновременно изучается арифметика таких абелевых расширений: законы разложения простых идеалов основного поля в данном расширении, законы взаимности.}}</ref>.
Теория полей классов глобальногоглобальных поляполей называется глобальной теорией полей классов, теориялокальных полей классов локального поля — локальной теорией полей классов<ref name="Ивасава К. Локальная теория полей классов" />.
