Равномерная непрерывность: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
BookBoy77 (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
LGB (обсуждение | вклад) мелкие дополнения |
||
Строка 1:
'''Равноме́рная непреры́вность'''
Понятие непрерывности
=== Определение ===
▲=== Равномерная непрерывность числовых функций ===
[[Вещественное число|Числовая]] функция вещественного переменного <math>f\colon M \subset \R \to \R</math> равномерно непрерывна, если{{sfn |Фихтенгольц|1966|с=178—180}}:▼
: <math>\forall \varepsilon > 0 \; \exist \delta = \delta(\varepsilon)>0 \; \forall x_1,x_2 \in M\quad \bigl(|x_1-x_2| < \delta \bigr) \Rightarrow \bigl( |f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon\bigr).</math>▼
Здесь важно, что выбор <math>\delta</math> зависит только от величины <math>\varepsilon</math> и пригоден для любых <math>x_1, x_2.</math>▼
Приведенное определение легко обобщается на случай функций нескольких переменных{{sfn |Фихтенгольц|1966|с=370—372}}.
=== Примеры ===
▲[[Вещественное число|Числовая]] функция вещественного переменного <math>f\colon M \subset \R \to \R</math> равномерно непрерывна, если
▲: <math>\forall \varepsilon > 0 \; \exist \delta = \delta(\varepsilon)>0 \; \forall x_1,x_2 \in M\quad \bigl(|x_1-x_2| < \delta \bigr) \Rightarrow \bigl( |f(x_1)-f(x_2)| < \varepsilon\bigr).</math>
: <math>f(x)=\frac{1}{x},\; x\in (0,1)</math>▼
▲Здесь важно, что выбор <math>\delta</math> зависит только от величины <math>\varepsilon</math>.
непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной, так как
=== Равномерная непрерывность отображений метрических пространств ===▼
: <math>f(x)=x^2,\; x\in (-\infty,+\infty)</math>▼
непрерывна на всей числовой оси, но не является равномерно непрерывной, так как▼
: <math>\lim_{x\to\infty}(f\left(x+\frac{a}{x}\right)-f(x))=\lim_{x\to\infty}(x^2+2a+a^2x^{-2}-x^2)=2a.</math>▼
Всегда можно выбрать <math>\varepsilon>0</math> для любого отрезка сколь угодно малой длины <math>\varepsilon/x</math> такое, что разница значений функции <math>f(x)=x^2</math> на концах отрезка будет больше <math>\varepsilon.</math> В частности, на отрезке <math>\left(x, x+\frac{\varepsilon}{x}\right)</math> разница значений функции стремится к <math>2\varepsilon.</math>▼
=== Свойства ===
Функция, равномерно непрерывная на множестве <math>M</math>, [[Непрерывное отображение|непрерывна]] на нём. Обратное, вообще говоря, неверно.
[[Теорема о равномерной непрерывности]] [[Кантор, Георг|Кантора]]: функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нём.
=== Определение ===
Пусть даны два [[Метрическое пространство|метрических пространства]] <math>(X,\varrho_X)</math> и <math>(Y,\varrho_Y).</math>
Строка 20 ⟶ 36 :
: <math>\forall \varepsilon > 0 \; \exist \delta = \delta(\varepsilon)>0 \; \forall x_1,x_2 \in M\quad \bigl(\varrho_X(x_1,x_2) < \delta \bigr) \Rightarrow \bigl( \varrho_Y(f(x_1),f(x_2)) < \varepsilon\bigr).</math>
=== Свойства ===
* Функция, равномерно непрерывная на множестве <math>M</math>, [[Непрерывное отображение|непрерывна]] на нём. Обратное, вообще говоря, неверно.
* [[Теорема о равномерной непрерывности]]: функция, непрерывная на
<!-- * Пусть <math>f\colon X \to Y</math> — равномерно непрерывное отображение, и <math>\{x_n\}_{n=1}^{\infty}</math> — [[последовательность Коши]] в <math>X.</math> Тогда <math>\bigl\{f(x_n)\bigr\}_{n=1}^{\infty}</math> — последовательность Коши в <math>Y.</math>
-->* Любое [[липшицево отображение]] равномерно непрерывно.
▲*Функция
▲: <math>f(x)=\frac{1}{x},\; x\in (0,1)</math>
▲непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной, так как существует <math>\varepsilon>0</math> такое, что можно указать [[отрезок]] сколь угодно малой [[Длина|длины]] такой, что на его концах значения функции будут различаться больше, чем на <math>\varepsilon.</math>
▲*Другой пример: функция
▲: <math>f(x)=x^2,\; x\in (-\infty,+\infty)</math>
▲непрерывна на всей числовой оси, но не является равномерно непрерывной, так как
▲: <math>\lim_{x\to\infty}(f\left(x+\frac{a}{x}\right)-f(x))=\lim_{x\to\infty}(x^2+2a+a^2x^{-2}-x^2)=2a.</math>
▲Всегда можно выбрать <math>\varepsilon>0</math> для любого отрезка сколь угодно малой длины <math>\varepsilon/x</math> такое, что разница значений функции <math>f(x)=x^2</math> на концах отрезка будет больше <math>\varepsilon.</math> В частности, на отрезке <math>\left(x, x+\frac{\varepsilon}{x}\right)</math> разница значений функции стремится к <math>2\varepsilon.</math>
== См. также ==
* [[Абсолютная непрерывность]]▼
* [[Модуль непрерывности]]
* [[Равностепенная непрерывность]]
▲* [[Абсолютная непрерывность]]
== Примечания ==
{{примечания}}
== Литература ==
* {{книга |автор=[[Фихтенгольц, Григорий Михайлович|Фихтенгольц Г. М.]] |ref=Фихтенгольц
|заглавие=Курс дифференциального и интегрального исчисления |том=I
|издание=изд. 6-е |место=М. |издательство=Наука |год=1966 |страниц=680}}
{{rq|source|topic=math}}
| |||