Ротор (дифференциальный оператор): различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 68:
Напротив, поле, ротор которого не равен нулю, называется обычно '''''вихревым''''', такое поле не может быть потенциальным.
===
*Обобщением ротора применительно к векторным (и псевдовекторным) полям
:: <math>(\operatorname{rot}\;\mathbf F)_{ij} = \partial_i F_j - \partial_j F_i \equiv
\frac{\partial F_j}{\partial x_i} - \frac{\partial F_i}{\partial x_j}</math>.
:Это же может быть записано как [[внешнее произведение]]:
:: <math>\operatorname{rot}\;\mathbf F = \nabla \wedge \mathbf F.</math>
*Для двумерной плоскости может быть использована аналогичная формула с [[Псевдоскалярное произведение|псевдоскалярным произведением]] (такой ротор будет псевдоскаляром, и его величина совпадает с проекцией традиционного векторного произведения на нормаль к данной плоскости, если она вложена в трёхмерное евклидово пространство).
Строка 81:
*Если на двумерном вещественном пространстве (с координатами <math>x</math> и <math>y</math>) введена структура комплексного пространства (с координатой <math>z = x + iy</math>) и двумерные векторные поля записываются как комплекснозначные функции <math>f(z)</math>, тогда с использованием дифференцирования по комплексной переменной
::<math>\frac{\partial{}}{\partial z} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial{}}{\partial x} - i \frac{\partial{}}{\partial y}\right)</math>
:ротор и дивергенцию (а они останутся действительными числами) можно записать так:
::<math>\operatorname{rot} f = \operatorname{Im}\frac{\partial f}{\partial z}</math>,
::<math>\operatorname{div} f = \operatorname{Re}\frac{\partial f}{\partial z}</math>.
| |||