Ротор (дифференциальный оператор): различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 97:
== Основные свойства ==
*Операция ротора линейна над полем констант: для любых векторных полей <math>F</math> и <math>G</math> и для любых чисел (констант) <math>a</math> и <math>b</math>
:
▲: <math>\operatorname{rot}\;( a\mathbf{F} + b\mathbf{G} ) = a\;\operatorname{rot} ~\mathbf{F} + b\;\operatorname{rot} ~\mathbf{G} </math>
* Если <math>\varphi
:
▲* Если <math>\varphi </math> — скалярное поле, а '''F''' — векторное, тогда:
::<math>\nabla\times(\varphi \mathbf{F}) = (\nabla\varphi) \times \mathbf{F} + \varphi(\nabla\times\mathbf{F})</math>.
*
::<math>\mathbf{F} = \operatorname{grad}
▲+ \varphi \;\operatorname{rot} ~\mathbf{F}, </math>
*Обратное верно локально: если поле безвихревое, то локально (в достаточно малых областях) оно потенциально (то есть найдется такое скалярное поле <math>\varphi\ </math>, что <math>F</math> будет его градиентом):
:
*Обратное свойство также выполняется локально - если поле <math>F</math> бездивергентно, локально оно является ротором некоторого поля <math>G</math>, называемого его [[векторный потенциал|векторным потенциалом]]:
▲* [[Дивергенция]] ротора равна нулю:
:
*Дивергенция векторного произведения двух векторных полей выражается через их роторы по формуле:
::<math>\operatorname{div} (\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = (\operatorname{rot}\mathbf{F})\cdot \mathbf{G} + \mathbf{F}\cdot \operatorname{rot}\mathbf{G}</math>
:Таким образом, если <math>F</math> и <math>G</math> - безвихревые векторные поля, их векторное произведение будет бездивергентным и локально будет обладать векторным потенциалом. Например, если <math>\mathbf{F}=\nabla f</math>, а <math>\mathbf{G}=\nabla g</math>, легко найти векторный потенциал для <math>\mathbf{F}\times \mathbf{G}</math>:
::<math>\mathbf{F}\times \mathbf{G} = \operatorname{rot}(f\nabla g)</math>.
:Локально каждое бездивергентное векторное поле в трёхмерной области является векторным произведением двух градиентов.
:
▲* Если поле '''F''' потенциально, его ротор равен нулю (поле '''F''' — безвихревое):
▲: <math>\mathbf{F} = \operatorname{grad}~\varphi \Rightarrow \operatorname{rot} ~\mathbf{F} = 0</math>
▲: <math>\operatorname{rot} ~\mathbf{F} = 0 \Rightarrow \mathbf{F} = \operatorname{grad}~\varphi</math>
▲* (Следствие из свойств выше): два (и сколько угодно) различных векторных поля могут иметь одинаковый ротор. При этом различаться они будут обязательно на безвихревое поле, то есть на градиент некоторого скалярного поля.
▲* Ротор ротора равен градиенту дивергенции минус лапласиан:
▲: <math>\operatorname{rot} ~\operatorname{rot} ~\mathbf{F} = \operatorname{grad} ~\operatorname{div} ~\mathbf{F} - \Delta\mathbf{F}</math>
=== [[Теорема Стокса]] ===
| |||