Круг: различия между версиями

24 байта добавлено ,  2 года назад
Это важная информация, только зачем в преамбуле? Самое место в Обобщениях для продвинутых читателей
(Это важная информация, только зачем в преамбуле? Самое место в Обобщениях для продвинутых читателей)
 
[[Граница (топология)|Границей]] круга по определению является [[окружность]]. [[Открытое множество|Открытый]] круг ([[внутренность]] круга) получится, если потребовать строгое неравенство: расстояние до центра <math> < R</math>. При нестрогом (<math>\leqslant</math>) [[неравенство|неравенстве]] получается определение [[замкнутое множество|замкнутого]] круга, который содержит и точки граничной окружности.
 
Понятие круга является одним из универсальных математических понятий, дословно обобщаемым на случай произвольных метрических пространств. В отличие от случая евклидовых пространств, при произвольных метриках они могут быть весьма причудливо устроены — в частности, в случае дискретной метрики можно построить пример, когда открытый круг с данным радиусом совпадает с замкнутым. Однако некоторые свойства всё же сохраняются: выпуклость и наличие центральной симметрии.
 
Например, если в качестве метрики взять так называемую «городскую» метрику, то есть <math>\rho ((x_1, y_1);(x_2,y_2)) = |x_1-x_2|+|y_1-y_2|</math>, то единичным кругом с центром в нуле, как легко увидеть, будет квадрат с вершинами <math>(1,0), (0,1),(-1,0),(0,-1)</math>.
 
== Связанные определения ==
* [[Периметр]] круга (длина окружности, ограничивающей круг): <math>L=2\pi R</math>.
* ([[Изопериметрическое неравенство]]) Круг является фигурой, имеющей наибольшую площадь при заданном периметре. Или, что то же самое, обладающей наименьшим периметром при заданной площади.
 
== Обобщения ==
Понятие круга является одним из универсальных математических понятий, дословно обобщаемым на случай произвольных метрических пространств. В отличие от случая евклидовых пространств, при произвольных метриках они могут быть весьма причудливо устроены  — в частности, в случае дискретной метрики можно построить пример, когда открытый круг с данным радиусом совпадает с замкнутым. Однако некоторые свойства всё же сохраняются: выпуклость и наличие центральной симметрии.
 
Например, если в качестве метрики взять так называемую «городскую» метрику, то есть <math>\rho ((x_1, y_1);(x_2,y_2)) = |x_1-x_2|+|y_1-y_2|</math>, то единичным кругом с центром в нуле, как легко увидеть, будет квадрат с вершинами <math>(1,0), (0,1),(-1,0),(0,-1)</math>.
 
== См. также ==