Группа Ли: различия между версиями

Нет изменений в размере ,  1 год назад
м
→‎Подгруппы Ли: Орфография
м (→‎Подгруппы Ли: Орфография)
== Подгруппы Ли ==
 
Подгруппа <math>H</math> группы Ли <math>G</math> называется её ''подгруппой Ли'', если она является подмногообразием в многообразии <math>G</math>, то есть найдётся <math>m>0</math>, такое, что <math>H</math> задаётся в окрестности каждой своей точки <math>p</math> системой из <math>k</math> функций, имеющей в <math>p</math> ранг <math>m</math>. Не всякая подгруппа является подгруппой Ли: например, подгруппа пар вида <math>(e^{ix}, e^{i\pi x})</math> в торе <math>\{(e^{ix},e^{iy})\mid x,y\in\R\}</math> не является подгруппой Ли (она даетдаёт всюду плотную обмотку тора). Подгруппа Ли всегда замкнута. В вещественном случае верно и обратное: замкнутая подгруппа является подгруппой Ли. В комплексном случае это не так: бывают вещественные подгруппы Ли комплексной группы Ли, имеющие нечетную размерность, например, [[унитарная матрица|унитарные матрицы]] в группе обратимых комплексных матриц <math>2\times 2</math>.
 
Пусть <math>H</math> — подгруппа Ли группы Ли <math>G</math>. Множество <math>G/H</math> смежных классов (безразлично, левых или правых) можно единственным образом наделить структурой дифференцируемого многообразия так, чтобы каноническая проекция была дифференцируемым отображением. При этом получится локально тривиальное расслоение, и если <math>H</math> — [[нормальная подгруппа]], то факторгруппа будет группой Ли.