Просмотр отдельных изменений

'{{Механика сплошных сред}} '''Зако́н сохране́ния и́мпульса''' ('''зако́н сохране́ния количества движения)''' — закон, утверждающий, что [[векторная сумма|сумма]] [[импульс]]ов всех [[Механическая система|тел системы]] есть [[Постоянная|величина постоянная]], если векторная сумма внешних [[сила|сил]], действующих на систему тел, равна нулю<ref name="Тарг">{{книга |автор=[[Тарг, Семён Михайлович|Тарг С. М.]] |заглавие= Краткий курс теоретической механики|ответственный= |ссылка= |место= М.|издательство= Высшая школа|год= 1995|том= |страниц= 416|страницы= 282 |isbn=5-06-003117-9}}</ref>. В [[Классическая механика|классической механике]] закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из [[Законы Ньютона|законов Ньютона]] можно показать, что при движении системы в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии внешнего воздействия скорость изменения импульса определяется суммой приложенных сил. Как и любой из фундаментальных [[Законы сохранения|законов сохранения]], закон сохранения импульса связан, согласно [[Теорема Нётер|теореме Нётер]], с одной из [[Симметрия (физика)|фундаментальных симметрий]], — ''[[однородность пространства|однородностью пространства]]''<ref name="ЛЛ">{{книга |автор= [[Ландау, Лев Давидович|Ландау Л. Д.]], [[Лифшиц, Евгений Михайлович|Лифшиц Е. М.]]|заглавие= Теоретическая физика|ответственный= |ссылка= | издание= 4-е изд., испр|место=М. |издательство= [[Наука (издательство)|«Наука»]]|год=1988 |том=I. Механика |страниц=215 |страницы=26 |isbn= 5-02-013850-9|ref= }}</ref>. Закон сохранения импульса впервые был сформулирован [[Декарт, Рене|Р. Декартом]]{{sfn|Готт|с=222|1972}}. == Вывод в механике Ньютона == Согласно [[второй закон Ньютона|второму закону Ньютона]] для системы из ''N'' частиц выполняется соотношение : <math> \frac{d\vec {p}}{dt} =\vec {F} ,</math> где <math>\vec {p}</math> — импульс системы: : <math>\vec{p}= \sum_{n=1}^{N}\vec{p}_n,</math> <math>\vec{p}_n</math> — [[импульс]] материальной точки, а <math>\vec {F}</math> — равнодействующая всех сил, приложенных к частицам системы: : <math>\vec{F}= \sum_{k=1}^{N} \ \vec{F}^{ext}_{k}+\sum_{n=1}^{N} \sum_{m=1}^{N} \ \vec{F}_{n,m},\quad m\ne n.</math> Здесь <math>\vec{F}_{n,m} </math> — сила (или сумма сил, если таковых несколько), действующая на ''n''-ю частицу со стороны ''m''-ой, а <math> \vec{F}^{ext}_{k} </math> — равнодействующая всех внешних сил, приложенных к ''k''-й частице. Согласно [[Законы Ньютона|третьему закону Ньютона]], силы вида <math>\vec {F}_{n,m} </math> и <math>\vec {F}_{m,n} </math> равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, то есть <math>\vec{F}_{n,m} = -\vec{F}_{m,n}</math>. Поэтому вторая сумма в правой части выражения для <math>\vec{F}</math> будет равна нулю, внутренние силы исключаются, и получаем, что производная импульса системы по времени равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на систему: : <math>\frac{d\vec {p}}{dt}= \sum_{k=1}^{N} \ \vec{F}^{ext}_{k}.</math> Для системы из ''N'' частиц, в которой сумма всех внешних сил равна нулю: : <math> \sum_{k=1}^{N} \ \vec{F}^{ext}_{k} =0, </math> и тем более для системы, на частицы которой не действуют внешние силы (<math> \vec{F}^{ext}_{k} =0</math> для всех ''k'' от 1 до ''N''), имеем : <math> \frac {d}{dt} \sum_{n=1}^{N}\vec{p}_n=0.</math> Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит: : <math>\sum_{n=1}^{N}\vec{p}_n=\overrightarrow {\mathrm{const}} \qquad</math> (постоянный вектор). То есть суммарный импульс системы из ''N'' частиц является постоянной величиной. При ''N'' = 1 получаем выражение для случая одной частицы. Таким образом, следует вывод<ref name="Тарг" />: {{рамка}} Если векторная сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то импульс системы сохраняется, то есть не меняется со временем. {{конец рамки}} Закон сохранения импульса выполняется не только для систем, на которые не действуют внешние силы, он справедлив и в тех случаях, когда сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю. То есть отсутствие внешних сил, действующих на систему, достаточно, но не необходимо для выполнения закона сохранения импульса. Если проекция суммы внешних сил на какое-либо направление или координатную ось равна нулю, то в этом случае говорят о законе сохранения проекции импульса на данное направление или координатную ось. == Связь с однородностью пространства == {{Симметрия в физике}} Согласно [[теорема Нётер|теореме Нётер]] каждому закону сохранения ставится в соответствие некая [[симметрия]] уравнений, описывающих систему. В частности, закон сохранения импульса эквивалентен однородности [[Пространство в физике|пространства]], то есть независимости всех законов, описывающих систему, от положения системы в пространстве. Простейший вывод этого утверждения основан на применении [[Лагранжева механика|лагранжева подхода]] к описанию системы. === Вывод из закона сохранения энергии === Рассмотрим систему нескольких соударяющихся упругим образом ([[Абсолютно упругий удар|без превращения части механической энергии в другие формы]]) частиц с массами <math>m_{i}</math> и скоростями <math>u_{i}</math> до столкновений и <math>U_{i}</math> после столкновений. Закон сохранения энергии имеет вид : <math>\frac{1}{2}\sum_{i}m_{i}u_{i}^{2}=\frac{1}{2}\sum_{i}m_{i}U_{i}^{2}.</math> Перейдём в систему отсчёта, равномерно и прямолинейно движущуюся со скоростью <math>v</math>. Скорости частиц с точки зрения этой системы отсчёта будут <math>u_{i} - v</math> до столкновений и <math>U_{i} - v</math> после столкновений. Закон сохранения энергии с точки зрения этой системы имеет вид : <math>\frac{1}{2}\sum_{i}m_{i}{(u_{i} - v)}^{2}=\frac{1}{2}\sum_{i}m_{i}{(U_{i} - v)}^{2},</math> или : <math>\frac{1}{2}\sum_{i}m_{i}{(u_{i}^{2} - 2vu_{i}+{v}^{2})}=\frac{1}{2}\sum_{i}m_{i}{(U_{i}^{2} - 2vU_{i}+{v}^{2})}.</math> Следовательно <math>\sum_{i} m_{i} v u_{i} = \sum_{i} m_{i} v U_{i}</math>, откуда следует <math>v \sum_{i} m_{i} u_{i} = v \sum_{i} m_{i} U_{i}</math>. Поскольку скорость <math>v</math> произвольна, то последнее равенство будет справедливым только в случае выполнения закона сохранения импульса : <math>\sum_{i} m_{i} u_{i} = \sum_{i} m_{i} U_{i}.</math>{{sfn|Кузнецов|с=135|1958}} === Вывод из формализма Лагранжа === Рассмотрим [[функция Лагранжа|функцию Лагранжа]] свободного тела <math>\mathcal L \equiv \mathcal L(q_i, \dot q_i, t),</math> зависящую от обобщённых координат <math>q_i\,,</math> обобщённых скоростей <math>\dot q_i</math> и времени <math>t</math>. Здесь точка над <math>q</math> обозначает дифференцирование по времени, <math>\dot q_i \equiv \frac{\partial q_i}{\partial t}.</math> Выберем для рассмотрения прямоугольную [[декартова система координат|декартову систему координат]], тогда <math>q_i=\vec r_a, \ \dot q_i = \vec v_a</math> для каждой <math>a</math>-той частицы. Используя однородность пространства, мы можем дать всем радиус-векторам частиц одинаковое приращение, которое не будет влиять на уравнения движения: <math>\vec r_a \to \vec r_a + \vec{\xi}, </math> где <math>\vec{\xi} \equiv \overrightarrow {\mathrm{const}}.</math> В случае постоянства скорости функция Лагранжа изменится следующим образом: : <math>\delta \mathcal L = \sum_{a}\frac{\partial\mathcal L}{\partial \vec r_a} \delta \vec r_a = \vec{\xi}\ \sum_{a} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec r_a}, </math> где суммирование идет по всем частицам системы. Так как приращение не влияет на уравнения движения, вариация функции Лагранжа должна быть равной нулю: <math>\delta \mathcal L =0.</math> С учётом того, что вектор <math>\vec \xi</math> — произвольный, последнее требование выполняется при: : <math>\sum_{a} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec r_a}=0.</math> Воспользуемся [[Уравнения Лагранжа второго рода|уравнением Лагранжа]] <math>\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \dot q_i}-\frac{\partial \mathcal L}{\partial q_i}=0:</math> : <math>\sum_{a} \frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec r_a} = \sum_{a}\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec v_a} = \frac{d}{dt}\sum_{a}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec v_a} = 0 .</math> Это означает, что сумма, стоящая под знаком дифференциала, — постоянная величина для рассматриваемой системы. Сама сумма и есть суммарный импульс системы: : <math>\vec P = \sum_{a}\frac{\partial \mathcal L}{\partial \vec v_a} = \overrightarrow {\mathrm{const}}. </math> Учитывая, что лагранжиан свободной частицы имеет вид: <math>\mathcal L = \frac{mv^2}{2},</math> нетрудно видеть, что последнее выражение совпадает с выражением в ньютоновом формализме: : <math>\vec P = \sum_a m_a \vec v_a = \overrightarrow {\mathrm{const}}.</math> Для релятивистской свободной частицы лагранжиан имеет несколько другую форму: <math>\mathcal L = -mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}},</math> что приводит к релятивистскому определению импульса : <math>\vec P = \sum_a \frac{m_a \vec v_a}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} = \overrightarrow {\mathrm{const}}.</math>вввввввввввввввввфывфвфывфывыфвфыdasdasdas В настоящее время не существует каких-либо экспериментальных фактов, свидетельствующих о невыполнении закона сохранения импульса. == Закон сохранения импульса в квантовой механике == Закон сохранения импульса в изолированных системах выполняется и в [[Квантовая механика|квантовой механике]]<ref>''{{нп5|Перкинс Д.|||Donald Hill Perkins}}'' Введение в физику высоких энергий. — М., [[Мир (издательство)|Мир]], 1975. — c. 94</ref>{{sfn|Широков|с=276|1972}}. В тех явлениях, когда проявляются корпускулярные свойства частиц, их импульс, как и в классической механике, равен <math>p=mv</math>, а когда проявляются волновые свойства частиц, их импульс равен <math>p=\frac{\hbar}{\lambda}</math>, где <math>\lambda</math> - длина волны{{sfn|Фейнман|с=194|2004}}. В квантовой механике закон сохранения импульса является следствием симметрии относительно сдвигов по координатам{{sfn|Ферми|с=183|1968}}. == Закон сохранения импульса в теории относительности == {{main|Общая теория относительности#Проблемы ОТО#Проблема энергии}} Закон сохранения импульса выполняется и в теории относительности. Отличие от классической механики состоит лишь в том, что в теории относительности зависимость импульса от скорости имеет вид : <math>p=\frac{mv}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}.</math>{{sfn|Фейнман|с=193|2004}}{{sfn|Широков|с=276|1972}} В общей теории относительности, аналогично ситуации с [[закон сохранения энергии|законом сохранения энергии]], при переходе к искривлённому [[пространство-время|пространству-времени]] закон сохранения импульса, выражаемый пространственными компонентами соотношения для [[тензор энергии-импульса|тензора энергии-импульса]] : <math>T^\mu_{\nu;\mu}=0,</math> где точка с запятой выражает [[ковариантная производная|ковариантную производную]], приводит лишь к локально сохраняющимся величинам. Это связано с отсутствием глобальной однородности пространства в пространстве-времени общего вида. Можно придумать такие определения импульса гравитационного поля, что глобальный закон сохранения импульса будет выполняться при движении во времени системы тел и полей, но все такие определения содержат элемент произвола, так как вводимый импульс гравитационного поля не может быть тензорной величиной при произвольных преобразованиях координат. == См. также == * [[Закон сохранения момента импульса]] * [[Теорема о движении центра масс системы]] * [[Теорема об изменении количества движения системы]] == Ссылки == * [https://www.youtube.com/watch?feature=plpp&v=GdoZwHDYmp8 Опыт с шарами по демонстрации закона сохранения импульса] (видео) == Литература == * {{книга | автор = [[Кузнецов, Борис Григорьевич|Кузнецов Б. Г.]] | заглавие = Принципы классической физики | место = М. | издательство = АН СССР | год = 1958 | страниц = 321 | isbn = | ref = Кузнецов }} * {{книга | автор = [[Фейнман, Ричард Филлипс|Фейнман Р. Ф.]] | заглавие = Фейнмановские лекции по физике. Вып. 1 Современная наука о природе. Законы механики. | место = М. | издательство = Едиториал УРСС | год = 2004 | страниц = 440 | isbn = 5-354-00699-6 | ref = Фейнман }} * {{книга | автор = [[Широков, Юрий Михайлович|Широков Ю. М.]], [[Юдин, Николай Прокофьевич|Юдин Н. П.]] | заглавие = Ядерная физика | место = М. | издательство = Наука | год = 1972 | страниц = 670 | isbn = | ref = Широков }} * {{книга | автор = [[Готт, Владимир Спиридонович|Готт В. С.]] | заглавие = Философские вопросы современной физики | место = М. | издательство = Высшая школа | год = 1972 | страниц = 416 | isbn = | ref = Готт }} * {{книга | автор = [[Ферми, Энрико|Ферми Э.]] | заглавие = Квантовая механика | место = М. | издательство = Мир | год = 1968 | страниц = 367 | isbn = | ref = Ферми }} == Примечания == {{примечания|2}} {{нет источников|дата=2012-05-13}} [[Категория:Законы сохранения|Импульса]] [[Категория:Физический принцип|импульса]]'